trojkaty Mistrz i Małgorzata: Liczby a, b, c to długości boków trójkąta. Udowodnij, że a² + b² + c² < 2 (b + c)²

anaisy: Wskazówka: Nazwijmy ten trójkąt ABC (a=BC, b=CA, c=AB). Niech okrąg wpisany w ten trójkąt będzie styczny do boków BC, CA, AB odpowiednio w A₁, B₁, C₁. Z najmocniejszego tw. geometrii mamy, ze istnieją takie dodanie liczby x, y, z, że x=AB₁=AC₁, y=BC₁=BA₁, z=CB₁=CA₁. Możemy więc podstawić do wyjściowej nierówności a=y+z, b=x+z, c=z+x.