Krótkie zadanko z wielomianów Karolina: Liczby całkowite a, b, c, d będące pierwiastkami wielomianu W(x) = x⁴−10x²+p tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz te liczby i wartość parametru p. Próbowałam zapisać b jako a+ r, c jako a+ 2r i potem tworzyć układ równań, ale to chyba jest błędne bo w zadaniu nie jest napisane ze to są kolejne wyrazy ciągu?

jajcarz: Przecież jest napisane, że są kolejnymi wyrazami ciągu

Bogdan: W(x) = (x + 3k)(x + k)(x − k)(x − 3k) = (x² − 9k²)(x² − k²) = x⁴ − 10k²x² + 9k⁴ −10k² = −10 ⇒ k² = 1 ⇒ k = −1 lub k = 1 p = 9k² = 9 a₁ = −3k = 3 lub a₁ = −3 a₂ = −k = 1 lub a₂ = −1 a₃ = k = −1 lub a₃ = 1 a₄ = 3k = −3 lub a₄ = 3

Kacper: Brakuje takiego sformułowania, ale potraktuj, że a, b, c, d, w podanej kolejności są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Karolina: Nie rozumiem za bardzo tego rozwiązania z "k" dlaczego pierwiastki tego równania to −3k,−k,k i 3k?

===: Zauważ, że licząc pierwiastki W(x) możesz zastosować podstawienie x²=t gdzie t>0 Aby W(x) miało 4 pierwiastki t²−10t+p=0 musi mieć dwa pierwiastki i oba dodatnie ... oczywistym więc jest, że W(x) musi wtedy być f. parzystą a pierwiastki symetryczne do osi 0y ... dodatkowo mają one tworzyć ciąg arytmetyczny