całki bimbam: cześć mam prośbę o wytłumaczenie tej całki ∫ √1−4x² dx = 2 ∫ √ 1/4 − x² dx

	1
=		arcsin 2x+ x√1/4 − x2 + C
	4

czy można się obejść jakoś bez wzoru

	a2		x		x
∫ √ a2 − x2 dx =		arcsin		+		√ a2 − x2 + C
	2		I a I		2

Mariusz: Najwygodniej będzie przez części ∫√1−4x²dx du=dx v=√1−4x²

	−4x
dv=		dx u=x
	√1−4x2

	1−4x2
√1−4x2=
	√1−4x2

jc: Podstaw x = (1/4) sin t.

jc: Oj, pmyłka, powinno być x = (1/2) sin t

Saizou : można np. tak

	a2−x2		a2		x2
C=∫√a2−x2dx=∫		dx=∫		dx−∫
	√a2−x2		√a2−x2		√a2−x2

	a2
K=∫		dx= |x=at, dx=a
	√a2−x2

	a3		1		x
dt|=∫		=a2∫		dt=a2arcsin
	√a2(1−t2)		√1−t2		a

	x2		x
L=∫		=|u=x, du=dx, v'=		, v=−√a2−y2|=
	√a2−x2		√a2−y2

−x√a²−x²+∫√a²−x²dx

	x
∫√a2−x2=a2arcsin		+x√a2−x2−∫√a2−x2dx )
	a

	x
2∫√a2−x2=a2arcsin		+x√a2−x2
	a

	a2		x		x
∫√a2−x2=		arcsin		+		√a2−x2
	2		a		2

Saizou : tam przy v' i v mają być x zamiast y

Mariusz: Podstawienie Eulera dałoby całkę ∫√1−4x²dx √1−4x²=(1+2x)t (1−2x)(1+2x)=(1+2x)²t² (1−2x)=(1+2x)t² 1−2x=t²+2xt² 1−t²=2xt²+2x x(2t²+2)=1−t²

	1−t2		−1−t2+2		1		1
x=		=		=−		+
	2(1+t2)		2(1+t2)		2		1+t2

dx=(−1)(1+t²)⁻²(2t)dt

	−2t
dx=		dt
	(1+t2)2

	2		2t
(1−2x)t=(1−(−1+		))=−
	1+t2		(1+t2)

	t2
−4∫		dt
	(1+t2)3

	−4t2		a3t3+a2t2+a1t+a0		b1t+b0
∫		dt=		+∫		dt
	(1+t2)3		(1+t2)2		1+t2

jc: Ale po co tak? x = (1/2) sin t, dx = (1/2) cos t

	1		1
∫ √1−4x2 dx =		∫ cos2 t dt =		∫ (1 + cos 2t) dt =
	2		4

	1		1		1		1
=		t +		sin 2t =		arcsin 2x +		x √1−4x2
	4		8		4		2

Mariusz: Saizou odwróciłeś kolejność tego co ja napisałem w pierwszym wpisie przez co nieco inaczej wygląda jedna z funkcji przy całkowaniu przez części jc twoje podstawienie wynika z zastosowania jedynki trygonometrycznej W przypadku gdy będziemy musieli użyć secansa tak łatwo modułu nie opuścisz Poza tym trzeba pamiętać tożsamości trygonometryczne , a co jeśli całki te będą liczone przed całkami postaci R(sin(x),cos(x)) Podstawienia Eulera mają swoje uzasadnienie , jego szkic znajduje się w książce Fichtenholza Tę całkę wygodniej jest jednak liczyć przez części

Saizou : Mariuszu z cały szacunkiem kiedy pisałem rozwiązanie nie widziałem twojego wpisu

bimbam: dziękuję wszystkim za pomoc ! Wydrukuję sobie to co napisaliście i przeanalizuję

Mariusz: Saizou Czyżbyśmy takie całki liczyli podobnie Jak liczyłbyś całkę ∫√1+4x²dx (przydatna przy liczeniu długości paraboli) bimbam liczysz pole koła ?

Mariusz: lub ograniczonego elipsą

Mariusz: 4x²+y²=1 y²=1−4x² Całka może być wykorzystana do policzenia pola obszaru ograniczonego elipsą

Saizou : ja bym to sparametryzował