Wyznaczyć jądro i obraz odwzorowania, algebra liniowa Karol: Witam, mam pytanko odnośnie wyznaczania jądra, obrazu i ich wymiarów. Chodzi o odwzorowanie liniowe oczywiście. f(x,y,z) = (0,5x + 0,5y, 0,5x + 0,5y, 0) Czy to będzie tak?: Kerf: {f(x,y,z) = (0,0,0)} = {(x, −x, 0)} = lin(1,−1,0) Imf: {(0,5x + 0,5y, 0,5x + 0,5y, 0)} = {x(1/2, 1/2, 0) + y(1/2, 1/2, 0) + z(0,0,0)} = lin((1/2, 1/2, 0), (1/2, 1/2, 0), (0,0,0) ? i z tego wychodzi, że dim Imf = 3, bo wyszły 3 wektory w lin przy liczeniu Imf ? Oraz mam pytanie jak wyznaczyć dim Kerf patrząc na Kerf

yyhy: dimKerf=1 DimImf=2 (nie licz (0,0,0) )

yyhy: Dim Kerf =1 bo masz 1 wektor generujący (1,−1,0)

Karol: a dlaczego dimKerf = 1?

Karol: rozumiem, czy i dimImf i dimKerf są równe ilościom wektorów generujących? jak wyjdą mi przy Kerf lin(i tu jakieś 3 wektory) to dimKerf = 3 i analogicznie z Imf?

yyhy: Zachodzi też coś takiego f:V→U to dim(Kerf)+dim(Imf)=dimV

yyhy: u ciebie V=R³ i ztego masz od razu tez

Karol: a w dimImf rozumiem, że (0,0,0) zawsze się pomija tak? i coś jeszcze? jak są w lin dwa takie same wektory tak jak w tym przypadku to i tak zostawia się je oba i zadnego nie skresla?

yyhy: tak, tylko muszą byc jescze liniow niezależne

jc: Chodzi o wektory liniowo niezależne! v, 2v, 3v, ... generują tą samą 1−wymiarową przestrzeń.

Karol: a gdyby wyszły liniowo zależne to co w takiej sytuacji się robi?

yyhy: czkeaj..cos mi sie ie pdoba ten twój Imf

yyhy: no to bierzesz tylko te które są liniow niezlaezne a tamte odrzucasz

yyhy: Zauwaz ze masz dwa razy ten sam wektor (1/2,1/2,0)

yyhy: Czyli wymair obrzu to 1! Zatem wymiar jadra musi byc 2

Karol: no okej, czyli w tym przypadku wyliczam sobie powiedzmy dimImf=2, z najpiękniejszego równania wychodzi mi, że 2+dimKerf=3, czyli dimKerf = 1 i wnioski: jest endomorfizmem, nie jest epimorfizmem nie jest monomorfizmem (bo dimKerf musiałoby być równe 0, a nie jest?)

Karol: czyli jednak ale moje wnioski się nie zmienią?

yyhy: Czekaj.cos mi sie to nie podoba..

yyhy: tak (monomrifmz gdy Kerf={0}_

Karol: wlasnie tez nie rozumiem tego, faktyczne powinno wyjść, że dimKerf = 2, ale dlaczego skoro Kerf = lin(1,−1,0) ?

yyhy: f(x,y,z)=(0.5x+0.5y,0.5x+0.5y,0) na drugij i trzeciej współrzędnej to samo, tak

yyhy: na pierwszej i drugiej**

Karol: pierwsza i druga współrzędna to (x+y)/2 a trzecia to 0

yyhy: f(x,y,z)=(0.5(x+y),0.5(x+y),0) =(x+y)(0.5,0.5,0) no to na bank dim(Imf)=1 bo wszystkie wrtości powstają jako przeskalowanie (0.5,0.5,0)

yyhy: No to coś z jadrme musi byc

yyhy: Kerf={(x,y,z): f(x,y,z)=0} ={(x,y,z):(x+y)(0.5,0.5,0)=0} ={(x,−x,z), x,z∊R} =lin{(1,−1,0),(0,0,1)} z z=etem mamy dowolność!

Karol: (0.5x+0.5y, 0.5x+0.5y, 0) = (0,0,0) 0.5x + 0.5y = 0 0.5x = −0.5y y=−x więc to będzie (x, −x, 0) i z tego wyszło mi lin(1,−1,0) no cóż nie wiem co jest nie tak

yyhy: Znalezione

yyhy: zoabcz na mój wczesniejszy wpis

Karol: wlasnie nie bardzo rozumiem czemu to z powinno być tu (x,−x,z) zamiast 0, z równania (0.5x+0.5y, 0.5x+0.5y, 0) = (0,0,0) wychodzi jakby 0=0

yyhy: bo zobacz ze np (1,−1,1000) też należy do jadra...

yyhy: A jakby było tak jak napisałeś , ze Kerf=lin{(1,−1,0)} to byśmy go nie dostali

yyhy: MUsimy dodać jeszcze tą swobde ze wzlgedu na 3 zmienną, dołączajac np wektor (0,0,1)

Karol: czyli jeśli mozna to tak ująć, to dlatego, że tutaj: (0.5x+0.5y, 0.5x+0.5y, 0) w ogóle nie ma zmiennej z i cokolwiek by sie za nią nie podstawiło to i tak wszystko będzie się zgadzać?

yyhy: tak!

Karol: bardzo Ci dziękuję, myślę, że załapałem sprawę! jutro godzina 10 egzamin, lecę próbować ogarniać dalsze tematy, pozdrawiam serdecznie

yyhy: Ok, powodzenia!