67 OM- 2 etap anaisy: Łapcie zadanka z OMa z dzisiaj: 1. We wnętrzu trójkąta o bokach długości 3, 4, 5 leży punkt P. Wykazać, że jeżeli odległości P od wierzchołków są wszystkie wymierne to odległości P od boków też. 2. W trójkącie ostrokątnym ABC dwusieczna kąta BAC przecina bok BC w punkcie D. Symetralna odcinka AD przecina okrąg opisany na trójkącie ABC w punktach E i F. Udowodnić, że okrąg opisany na trójkącie DEF jest styczny do prostej BC. 3. Niech Z oznacza zbiór liczb całkowitych. Rozstrzygnąć, czy istnieje funkcja f, która każdej liczbie całkowitej k przypisuje nieujemną liczbę całkowitą f(k) i spełnia następujące dwa warunki: 1) f(0)>0 2) dla każdej liczby całkowitej k najmniejsza spośród liczb postaci f(k−l)+f(l) gdzie l∊Z, jest równa f(k). Piszcie swoje rozwiązania i co myślicie o zadankach .

jc: Pierwsze wydaje się łatwe. x² + y² = p² (x−6)² + y² = q² x² + (y−4)² = r² p, q, r − liczby wymierne x = (9+p²−q²)/6 liczba wymierna y = podobnie A ze wzoru na odległość punktu od prostej x/3 + y/4 − 1 = 0 wynika, że odległość od przeciwprostokątnej też jest ułamkiem.

jc: Taka funkcja nie istnieje. Załóżmy odwrotnie. f(r) = f(a) + f(b) dla pewnych a, b takich, że a+b = r Wniosek, f(a) < f(r) lub f(b) < f(r), itd. Wynika stąd, że dla pewnego s, f(s)=0. Niech s będzie najmniejszą taką liczbą. Jeśli f(a) = f(b) = 0, to f(a+b) = 0. f(s) = f(u) + f(t), u < 0. f(u)= f(t) = 0. f(s+u) = 0, a więc s + u < 0. k>0, f(u+ ks) = 0. Dla pewnego k, u + ks > 0. Niech k będzie najmniejszą taką liczbą. u+ks > s (bo s najmniejsza taka ... ), u+(k−1)s > 0, ale powinno być u+(k−1)s > 0 (bo s najmniejsza taka ...) SPRZECZNOŚĆ Na pewno można zgrabniej, ale pozostawiam tylko taki szkic. Ewentualne usterki są do naprawy.

anaisy: Dzień 2.: 4. Dana jest liczba całkowita dodatnia k. Udowodnić, że istnieje liczba całkowita dodatnia n, dla której zbiory A={1², 2², 3², ...} i B={1²+n, 2²+ n, 3²+n, ...} mają dokładnie k wspólnych elementów. 5. Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg. Punkty P i Q leżą odpowiednio na półprostych AB i AD, przy czym AP=CD i AQ=BC. Wykazać, że środek odcinka PQ leży na prostej AC. 6. W przestrzeni danych jest n zielonych punktów, przy czym n≥4 i żadne cztery zielone punkty nie leżą na jednej płaszczyźnie. Niektóre odcinki łączące zielone punkty pomalowano na czerwono. Liczba czerwonych odcinków jest parzysta. Każde dwa różne zielone punkty łączy pewna łamana złożona z czerwonych odcinków. Udowodnić, że czerwone odcinki da się podzielić na takie pary, że odcinki z jednej pary mają wspólny koniec.

STRACHU: Ktoś mógłby pokazać jak zrobić to 5, które wrzuciła @anaisy? Byłbym bardzo wdzięczny