dowód nie wprost Jack: wykaż , że √3 jest liczbą niewymierną... widziałem różne dowody, ale wszędzie było o parzystości... np. √2 a √3 mógłby ktoś podpowiedzieć jak zrobić?

Jack: Dowód przebiega podobnie (metodą niewprost) − chodzi o to, że jedna strona ma parzyście wiele 3 w rozkładzie na iloczyn potęg liczb pierwszych, a druga nieparzyście wiele. Można też − bardziej współcześnie − z tw. o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych

kochanus_niepospolitus: Niewprost.

	p
załóżmy, że √3 można zapisać w postaci nieskracalnego ułamka postaci		; gdzie p,q ∊N
	q

	p
√3 =		// 2 // *q2
	q

3q² = p² skoro L dzieli się przez 3, to i P musi się dzielić przez 3 ... skoro p² dzieli się przez 3 (która jest liczbą pierwszą) to p dzieli się przez 3 ... więc można zapisać p = 3n a więc: 3q² = 9n² q² = 3n² analogiczne rozumowanie 'w drugą stronę' (i niech q = 3m) a więc mamy: p = 3n ; q = 3m

	p		3n		n
więc		=		=
	q		3m		m

	p
i dochodzimy do sprzeczność, bo w końcu na początku było powiedziane, że		jest
	q

nieskracalnym ułamkiem C.N.W.

kochanus_niepospolitus: Dokładnie w ten sposób możesz wykazać niewymierność każdego pierwiastka z którego nie można wyciągnąć nic przed pierwiastek (czyli w rozkładzie nie występuje żadna liczba pierwsza do co najmniej 2 potęgi). Jeżeli masz np. √18 to po prostu na wstępie zapisujesz √27 = 3√3 i 'działasz' na √3 wedle tejże metody

Jack: mialbym jeszcze pytanko czy mozemy zalozyc ze p,q naleza do calkowitych? dlaczego akurat naturalnych? oczywiscie wtedy zalozenie q ≠ 0

kochanus_niepospolitus: bo w tym momencie nie musi być warunku q*p > 0 (aby oba były tego samego znaku)

	−2
po drugie ... ułamek nieskracalny to ułamek nieskracalny ... natomiast		skraca się
	−3

przez (−1).

Jack: oraz jeszcze jedno... " skoro p² dzieli się przez 3 (która jest liczbą pierwszą) to p dzieli się przez 3" tego fragmentu nie moge zrozumiec ; (

Jack: Można, ale wtedy również n,m∊Z\{0} (zresztą, w def. liczby wymiernej jest mowa właśnie o liczbach całkowitych). Tylko, że √3>0, więc p,q muszą mieć ten sam znak. Rozpisywanie wariantów dla p,q>0 i p,q<0 jest analogiczne, przez co zbędne (nie pamiętam, bym widział dowód uwzględniający oba przypadki).

Jack:

	1
ok, czyli calkowite / naturalne mozna by napisac, bo wtedy −		jest nieskracalne
	3

kochanus_niepospolitus: oczywiście ogólna definicja mówi o tym, że p,q∊Z ; q≠0 Jednak to odnosi się do zarówno dodatnich liczb wymiernych jak i ujemnych W przykładzie masz liczbę dodatnią, więc możesz 'zacisnąć' pasa dowolności p,q. Aczkolwiek, nie musisz tego czynić

Jack: a, wlasciwie macie racje, dziekuje bardzo : D i wlasnie ten post 13:23 jakos ciezko mi to zrozumiec

kochanus_niepospolitus: Jack ... ale p,q <0 na wstępie nie spełniają warunków, bo obie liczby można 'skrócić' o (−1)

Jack: [F[kochanus...] moglabys bardziej wytlumaczyc "skoro p2 dzieli się przez 3 (która jest liczbą pierwszą) to p dzieli się przez 3"

kochanus_niepospolitus: p² dzieli się przez 3 (to zrozumiałe, prawda?!) 3 jest liczbą pierwszą (bez wyjaśnień pozostawię ) p² = p*p ... aby p² było podzielne przez 3 ... to 'p' lub 'p' musi być podzielne przez 3 (ponieważ samej liczby 3 'nie można rozłożyć na czynniki pierwsze' ze względu na to że jest liczbą pierwszą) a więc dlatego p musi być podzielne przez 3

Jack: Kochanus, tupanie nic nie da − nie jest to dowód Wydaje mi się, że łatwiej pokazać niewymierność z iloczynu potęg liczb pierwszych albo w tw. o wymiernych pierwiastkach, dlatego że choć to oczywisty krok, to wymaga osobnego dowodu.

Jack: aa, wszystko jasne, dziekuje bardzooo kochanus

Jack: kochnaus, Racja, z podzielną przez (−1). Umknęło mi to! Dzięki (robić dowody chyba nie zakładałem nigdy, że p,q są nieskracalne)

kochanus_niepospolitus: Jakie znów tupanie? Uważasz, że należy udowodnić to, że liczba 3 jest liczbą pierwszą? Jeżeli tak to: Dowód. Niewprost. Załóżmy, że liczba 3 jest liczbą złożoną, więc można ją zapisać w postaci: 3 = a₁^α₁*a₂^α₂*...*a_n^α_n

	3
,gdzie ak ≤		i ∃αj αj ≥2 ; ak ∊ N ; αk∊N+
	2

	3
1 <		< 2
	2

Więc: a₁ = a_n = 1 3 = 1^α₁ sprzeczność C.N.W.

kochanus_niepospolitus: (black) Jack ... definicja liczby wymiernej mówi o możliwości zapisu dowolnej liczby wymiernej

	p
w postaci nieskracalnego ułamka postaci		; gdzie tam p,q∊Z i q≠0
	q

Tak po prostu rzecze definicja

kochanus_niepospolitus: oczywiście pisząc powinno być α_k∊N (dla N₊ ten zapis byłby straszliwą potwornością i okazałoby się, że każda liczba Naturalna jest liczbą pierwszą )

jc: Proponuję tak. Załóżmy, że √3 jest ułamkiem. Wtedy dla pewnej liczby naturalnej n, liczba n √3 jest liczbą naturalną (dodatnią całkowitą). Niech n będzie najmniejszą taką liczbą. Popatrzmy na liczbę m = n √3 − n. Mamy 0 < m < n. Poza tym m jest liczbą naturalną. Ale m √3 = 3 n − n √3 też jest liczbą naturalną wbrew założeniu, że n jast najmniejszą liczbą taką, że n √3 jest naturalne. Otrzymana sprzczność dowodzi, że √3 nie jest liczbą wymierną.

loki: bzdura i bez wyjaśnień...

kochanus_niepospolitus: m = n√3 − n. Mamy 0 < m < n, czyli: n√3 −n = m < n ⇔ n√3 −n < n ⇔ n√3 < 2n ⇔ √3 < 2 Jest to prawdą, ale nigdzie nie napisałeś, że 1<√3<2

Jack: Nie wściekaj się, ale Twój opis faktu, że "skoro p² dzieli się przez 3 (która jest liczbą pierwszą) to p dzieli się przez 3", jest równie (nie)oczywisty jak to, że √3 jest liczbą niewymierną. Po prostu dowodząc jednego twierdzenia zahaczasz o kolejne (zupełnie niepotrzebnie). A co do tego, że p i q muszą być względnie pierwsze, to nieprawda. Nie trzeba tego zakładać (wszystko zależy w czym chcesz upatrywać sprzeczności).

Jack: I czytaj ze zrozumieniem − nie chodził mi o to, że 3 jest liczbą pierwszą.

jc: @loki, co niby jest bzdurą? Korzystam z zasady minimum: Każdy niepusty podzbiór zbioru N={1,2,3, ... } posiada element najmniejszy.

jc: Dowód teorioliczbowy oparty jest na tym, że jeśli 3 nie dzieli m, to nie dzieli m². Jeśli 3 nie dzieli m, to m jest postaci 3k+1 lub 3k−1. Wtedy m²= 3(3k²+2k)+1 lub m² = 3(3k²−3k)+1, a więc m² nie dzili się przez 3.

kochanus_niepospolitus: Jack ... ja to zapisałem bardzo skrótowo ze względu na to, że staram się nie podawać 'pełnych' rozwiązań na tym forum, a tylko 'naprowadzać'

kochanus_niepospolitus: Jack ... ja Ci mówię jaka jest DEFINICJA liczb wymiernych ... DEFINICJA rzecze o możliwie

	p
zapisania w postaci 'NIESKRACALNEGO' ułamka w postaci
	q

oczywiście, nie trzeba się bezpośrednio do definicji odnosić, nie ma takiej konieczności

Jack: kochanus, ok, wypadałoby tylko dodać, że nie podałeś pełnego dowodu.

kochanus_niepospolitus: Jasne, że wypadałoby ... po prostu nie napisałem, że stosuję skrót myślowy przy opisie

Jack: kochanus, "oczywiście, nie trzeba się bezpośrednio do definicji odnosić, nie ma takiej konieczności" − jak widać, myślimy po prostu o różnych sposobach dowodzenia początkowego twierdzenia. .

iryt: x=√3 /² x²−3=0 w(x)=x²−3 jest wielomianem o całkowitych współczynnikach. Jeżeli w(x) posiada pierwiastki wymierne to są dzielnikami, liczby (−3). Żadna z liczb: 1,−1,3,−3 nie jest pierwiastkiem w(x) Pierwiastkami są liczby : √3 i −√3 ⇔√3,−√3 − liczby niewymierne.

dom: ja wogule nic nierozumiem z tego co wy piszecie!

wredulus_pospolitus: w takim razie masz poważne braki w edukacji bądź jeszcze tego nie miałeś