Parametr m Uczen74636: Dla jakich parametrów m równanie x³ − mx + 2 ma trzy rozwiązania . Proszę o wskazówkę od czego wyjsć . Jest to wielomian wiec pasuje to rozbić albo na czynniki albo podstawić zmienną t. Ewentualnie graficznie ale nie mam pomysłu od czego wyjsć ...

Janek191: Szukaj rozwiązań wśród dzielników liczby 2.

Krzysiek: m<0

Krzysiek: Na odwrót, m>0

Krzysiek: m>=4

Janek191:

jc: Ja bym próbował tak: f(x) = x³ − mx + 2 Maksimum lokalne > 0, minimum lokalne < 0. m> 0, f(√m/3) > 0, f(−√m/3) < 0. ....

Uczen74636: Proszę mi rozpisać te warunki i wyjaśnić dlaczego tak a nie inaczek..

jc: Minimu i maksimum znajdujesz przyrónując pochodną do zera. Popatrz na wykres. Aby wykres przeciąłą 3 razy oś poziomą, to minimu powinno być poniżej zera, a maksimum powyżej. Poza tym, jak widzimy minimum wypada po prawej stronie (ojjej, pmyliłem nierówności!). m >0, f(p{m/3)) < 0, f(√m/3) > 0.

Uczen74636: Tak ale mógłby mi ktoś pokazać krok po kroku ta pochodna ? Nie za bardzo potrafię takie coe rozwiazac, a co z zalozeniami?

jc: Która klasa?

Uczen74636: 3 liceum

jc: Odpowiedź m > 3, ale jak to prosto pokazać?

Uczen74636: Najpierw liczę pochodna wychodzi 3x² −m i to potem przyrównuje do zera , rysuje parabole i tabelkę i znajdują maksimum i minimum

jc: Dla m > 3 mamy f(1) = 3 − m < 0 f(0) = 2 > 0 Na pewno dla dużych x, f(x) > 0 a dla bardzo małych x (bardzo ujemnych) f(x) < 0 Mamy więc pierwiastek pomiędzy 0 a 1, powyżej 1 i poniżej 0 (razem 3). Dla m=3 mamy dwa pierwastki (jeden podwójny). A z odpowiedzią dla m < 3 poczekaj chwilę.

jc: Eee, ... wtedy minimum osiągane w √m/3 jest dodatnie i wykres tylko raz przecina oś poziomą.

jc: A dla ujemnych m, funkcja jest rosnąca i na pewno ma tylko jeden pierwiastek. Nie podoba mi się to rozwiązanie....

Mila: Nie ma w treści, że współczynniki całkowite? wtedy, jak podpowiada Janek Δ=0⇔

	−m		2
(		)3+(		)2=0
	3		2

	m3
−		+1=0
	27

m³−27=0 m=3 x³ − 3x + 2=0 W(1)=1−3+2=0 1 0 −3 2 x=1 1 1 −2 0 x³−3x+2=(x−1)*(x²+x−2) Δ=9

	−1−3		−1+3
x=		lub x=
	2		2

x=−2 lub x=1 x³−3x+2=(x−1)²*(x+2)

piotr: f'(x)=3x²−m f''(x)=6x f'(x)=0 dla x=−√m/3 maksimum bo f''(−√m/3)<0 i dla x=√m/3 minimum bo f''(√m/3)>0 warunek aby f'(x) miała dwa miejsca zerowe: w1. m>0 warunki aby były trzy przecięcia wykresu f(x) w2. f(−√m/3)>0 ⇔ (−√m/3)³−m(−√m/3)+2>0 m>0 w3. f(√m/3)<0 ⇔ (√m/3)³−m√m/3+2<0 ⇒ m>3 gdy zajdą trzy warunki jednocześnie: (w1 ∧ w2 ∧ w3) ⇒ m>3

Mila: Dla m=3 ma dwa rozwiązania. f(x)=x³ g(x)=3x−2 tgα=3 zatem m>3 ale to nie wszystko. Dalej trzeba pomyśleć nad dalszym ograniczeniem.

piotr: dla m=3 ma dwa rozwiązania: −2 i 1 jako podwójne natomiast dla m>3 rozwiązań jest trzy

Mila: Tak. Tylko zastanawiam się jak wykorzystać ten fakt, że dla m=3 są dwa rozwiązania do Twojego wniosku nie licząc pochodnych.

Mila: Trzy różne pierwiastki rzeczywiste:

	m3
Δ=−		+1<0
	27

	m3
−		+1<0 /*27
	27

−m³+27<0 m³−27>0 m>3 ==========

Bogdan: x³ − mx + 2 = 0 y = x³ i y = mx − 2 styczna do y = x³ w punkcie A = (x₀, x₀³): y = y'(x₀)*(x − x₀) + x₀³ ⇒ y = y'(x₀)x − y'(x₀)*x₀ + x₀² gdzie: m = y'(x₀) i −2 = −y'(x₀)*x₀ + x₀² y' = 3x², y'(x₀) = 3x₀², −2 = −3x₀²*x₀ + x₀³ ⇒ x₀ = 1, A = (1, 1), m = y'(1) = 3*1² = 3 Liczba m jest współczynnikiem kierunkowym prostej y = mx − 2, dla m = 3 ta prosta jest styczną do krzywej y = x³ w punkcie (1, 1) i przecina ją w punkcie B = (−2, −8). Jeśli m > 3 to prosta y = mx − 2 jest sieczną krzywej y = x³ i wtedy ma z nią 3 punkty wspólne.

Mila: Właśnie myślałam o stycznej,( 22:39) ale to górne ograniczenie mnie niepokoiło. Ładny rysunek i wytłumaczenie. Dziękuję Bogdan

Bogdan: Poszedłem Mila Twoim tropem

Mila:

jc: Jak pokazać elementarnie (bez pochodnych i strasznych rachunków), że w przedziale (0,3) mamy tylko jeden pierwiastek.

jc: Mam! suma pierwiastków = 0 (bo nie ma wyrazu z x) iloczyn pierwiastków = −2, a więc mamy 2 dodatnie pierwiastki i jeden ujemny Niech to będą liczby a, b, −a−b (a,b >0) Mamy f(x)=(x−a)(x−b)(x+a+b) = x³ − (a²+b²+ab) x + ab(a+b) a² + b² +ab = m ab(a+b) =2 √ab < (a+b)/2 (o ile a≠b). Zatem ab < 1 i a+b > 2 Stąd m = (a+b)² − ab > 4 − 1 = 3