całki madzior: Pole ograniczone krzywymi − czy można liczyć gdy jedna z funkcji przyjmuje wartości ujemne? Czy trzeba 'podnieść' ponad OX?

	x2
U mnie:1) f(x)=
	√(x−1)(3−x)

2) y=−1 3) w przedziale ograniczonym asymptotami pionowymi czyli 1 i 3

Mariusz: Jeżeli przyjmuje wartości ujemne to lepiej podzielić przedział całkowania i tam gdzie jest mniejsza od zera zmienić znak √(x−1)(3−x)=(3−x)t (x−1)(3−x)=(3−x)²t² x−1=(3−x)t² x−1=3t²−xt² x+xt²=3t²+1 x(1+t²)=3t²+1

	3t2+1		2
x=		=3−
	1+t2		1+t2

	2t
(3−x)t=
	1+t2

dx=−2*(−1)*(1+t²)⁻²(2t)dt

	4t
dx=		dt
	(1+t2)2

	(3t2+1)2	1+t2	4t
∫				dt
	(1+t2)2	2t	(1+t2)2

	((3t2+3)−2)2		9(1+t2)2−12(1+t2)+4
∫		dt=∫		dt
	(1+t2)3		(1+t2)3

	9		12		4
∫		dt−∫		dt+∫		dt
	1+t2		(1+t2)2		(1+t2)3

	4		4+4t2−4t2		dt		−(4t)
∫		=∫		=4∫		+∫t		dt
	(1+t2)3		(1+t2)3		(1+t2)2		(1+t2)3

	dt		t		dt
=4∫		+		−∫
	(1+t2)2		(1+t2)2		(1+t2)2

	t		dt
=		+3∫
	(1+t2)2		(1+t2)2

	4		12		t		dt
∫		dt−∫		dt=		−9∫
	(1+t2)3		(1+t2)2		(1+t2)2		(1+t2)2

	dt		1+t2−t2		dt		t	(−2t)
∫		=∫		dt=∫		+∫			dt
	(1+t2)2		(1+t2)2		1+t2		2	(1+t2)2

	dt		dt		1	t		1		dt
∫		=∫		+			−		∫
	(1+t2)2		1+t2		2	1+t2		2		1+t2

	dt		1	t		1		dt
∫		=			+		∫
	(1+t2)2		2	1+t2		2		1+t2

4

12

t

9

t

9

dt

∫

dt−∫

dt=

−

−

∫

(1+t2)3

(1+t2)2

(1+t2)2

2

1+t2

2

1+t2

	4		12		9
∫		dt−∫		dt+∫		dt=
	(1+t2)3		(1+t2)2		1+t2

t		9	t		9		dt
	−			+		∫
(1+t2)2		2	1+t2		2		1+t2

	4		12		9
2(∫		dt−∫		dt+∫		dt=
	(1+t2)3		(1+t2)2		1+t2

2t		t		dt
	−9		+9∫
(1+t2)2		1+t2		1+t2

)

	4		12		9
2(∫		dt−∫		dt+∫		dt)=
	(1+t2)3		(1+t2)2		1+t2

2t		t
	−9		+9arctan(t)+C
(1+t2)2		1+t2

	2t		t
limt→∞(		−9		+9arctan(t))−
	(1+t2)2		1+t2

	2t		t
limt→−∞(		−9		+9arctan(t))=9π
	(1+t2)2		1+t2

madzior: Nie rozumiem dlaczego t→∞, jesteśmy ograniczeni po bokach przez 1 i 3 i chyba w takich przedziałach powinniśmy całkować a od dołu funkcją y=−1 i właśnie tutaj nie wiem co zrobić, czy mogę bez problemów całkować czy jakoś trzeba 'podnieść' cały wykres?

Mariusz: Zamiana zmiennych w całce oznaczonej Mamy do wyboru albo zmienić przedział całkowania i nie wracać do poprzedniej zmiennej albo nie zmieniać przedziału całkowania i wrócić do poprzedniej zmiennej

Mariusz: U dołu jest ta prosta y=−1 ? więc powinnaś ją odjąć od tej co jest u góry w funkcji podcałkowej

Mariusz: funkcja podcałkowa jest dodatnia więc prosta ci nie przetnie wykresu funkcji

bc: A nie prościej było tak:

x2		x2
	=
√(x−1)(3−x)		√1−(x−2)2

Po podstawienu x=2+sin t, dx = cos t dt i uproszczeniu dostajemy całkę

	1		cos 2t		9
∫(2+sin t)2 dt = ∫ (4 + 2 sin t +		−		) dt =		t − 2 cos t −
	2		2		2

sin 2t
4

	9
Całkujemy w granicach t = −π/2, π/2, otrzymujac		π (proszę sprawdzić ostatni krok).
	2

bc: Mała pomyłka, powinno być ∫4sint dt zamianst ∫2 sin t dt, ale to i tak daje 0.

Mariusz: Tak powinno być od 0 do ∞ − błąd przy zmianie przedziału Ja jakoś wolę podstawienia Eulera , poza tym gdyby się uparł to można by było po sprowadzeniu trójmianu kwadratowego pod pierwiastkiem do postaci kanonicznej przez części liczyć Trzeba jeszcze uwzględnić prostą y=−1

jc: Z tą prostą to nie bardzo wiadomo o co chodzi. Czy to są dwa zadania? Wtedy to nie ma sensu bo mamy ∞, czy po prostu w przedziale (1,3) uwzględniamy tą prostą. Wtedy wystarczy do wyniku dodać 3. Czy może chodzi o prostą y=1, tylko minus się niechcący dopisał? Wolę krótszy rachunek. Gdzieś i tak zgubiłeś 1/2. Na marginesie, po co w obecnych czasach liczyć takie rzeczy ręcznie? Są systemy algebry komputerowej: REDUCE (od 10 lat za darmo), MAXIMA, GP, i pewnie wiele innych, a przy ręcznym liczeniu o pomyłkę nietrudno.

Mariusz: @jc ja z podstawieniem Eulera nieoznaczoną dobrze policzyłem (sprawdzałem różniczkując) tylko przedział za duży wziąłem Po zamianie zmiennej wziąłem przedział (−∞,∞) zamiast (0,∞) i stąd dwukrotnie większa wartość Podstawienie Eulera daje taką całkę bo współczynnik przy x² w trójmianie pod pierwiastkiem jest ujemny gdyby był dodatni to moglibyśmy użyć pierwszego podstawienia i otrzymalibyśmy całkę z potęgi