Liczba pierwiastków równania
matematyk97: | | x2+1 | | 1 | | x | |
Dane jest równanie |
| − |
| = |
| z niewiadomą x. Zbadaj, dla |
| | a2x−2a | | 2−ax | | a | |
jakich wartości a równanie ma dwa różne pierwiastki. Coś zepsułem, bo wyszło mi równanie
trzeciego stopnia
16 lut 19:31
prosta:
| x2+1 | | a | | x(ax−2) | |
| + |
| − |
| =0 |
| a(ax−2) | | a(ax−2) | | a(ax−2) | |
(1−a)x
2+2x+1+a=0 i założenia
16 lut 19:42
Kacper:
Pokaż od początku co robisz.
16 lut 19:47
matematyk97: Dzięki, u mnie się błąd wkradł
16 lut 19:47
matematyk97: Delta jest zawsze dodatnia więc:
1−a≠ 0
a≠1
Patrząc na wcześniejszy mianownik a(ax−2)≠0 to a≠0 i ax−2≠0 → ax≠2 i coś się dalej da z tym
zrobić?
W odpowiedziach jest, że aεR\{−2, 0, 1}
16 lut 20:01
matematyk97: No i faktycznie dla a=−2 pierwotne równanie jest liniowe i ma jedno rozwiązanie. Jednak skąd
wziąć tą−2?
16 lut 20:26
wiatr: jakiś błąd musiał się trafić w przekształceniach bo pewnie to będzie równanie:
(a+2)x2....=0
Zaraz spróbuję to przekształcić.
16 lut 21:00
wiatr: | X2+1 | | 1 | | x | |
| − |
| − |
| =0 |
| a2x−2a | | 2−ax | | a | |
| X2+1 | | 1 | | x | |
| − |
| − |
| =0 |
| a(a−2) | | 2−ax | | a | |
| (x2+1)(2−ax) | | a(a−2) | | x | |
| − |
| − |
| =0 |
| (a(a−2)(2−ax) | | (a(a−2)(2−ax) | | a | |
| 2x2−ax2+2−ax−a2+2a | | x | |
| − |
| =0 |
| (a(a−2)(2−ax) | | a | |
| x2(2−a)−ax+2−a2+2a | | x | |
| − |
| =0 |
| (2a−a2x−4+2ax)a | | a | |
| x2(2−a)−ax+2−a2+2a | | x | |
| − |
| =0 |
| 2a2−a3x−4a+2a2x | | a | |
| x2(−a2+2a)−a2x+2a−a3+2a2 | |
| − |
| 2a3−a4x−4a2+2a3x | |
| 2a2x−a3x2−4ax+2a2x | |
| |
| 2a3−a4x−4a2+2a3x | |
| x2(−a2+2a)−a2x+2a−a3+2a2−2a2x+a3x2+4ax−2a2x | |
| |
| 2a3−a4x−4a2+2a3x | |
| −x2a2+2ax2−a2x+2a−a3+2a2−2a2x+a3x2+4ax−2a2x | |
| |
| 2a3−a4x−4a2+2a3x | |
Doszedłem jedynie do takiej postaci
16 lut 21:13
Metis: No zaszalałeś
wiatr 
16 lut 21:26
Metis: | | ... | | ... | |
Jak sprowadzisz do wspólnego mianownika |
| +/− |
| |
| | 2 | | 4 | |
Do 8 czy do 4 ?
16 lut 21:36
wiatr: sprowadzałem do 8
16 lut 21:40
Metis: Pomijam założenia. Myślę, że tak najprościej.
| x2+1 | | 1 | | x | |
| − |
| = |
| |
| a2x−2a | | 2−ax | | a | |
| x2+1 | | 1 | | x | |
| − |
| = |
| |
| a(ax−2) | | −(−2+ax) | | a | |
| x2+1 | | 1 | | x | |
| + |
| = |
| |
| a(ax−2) | | ax−2 | | a | |
| x2+1+a | | x | |
| = |
| // proporcja |
| a(ax−2) | | a | |
a(x
2+a+1)=x(a
2x−2a)
ax
2+a
2+a=a
2x
2−2ax // porządkujemy
ax
2+a
2+a−a
2x
2+2ax=0
ax
2−a
2x
2+2ax+a
2+a=0
(a−a
2)x
2(a−a
2)+2ax+a
2+a=0
16 lut 21:46
Metis: I można jeszcze podzielić przez a i otrzymuje to co prosta .
(1−a)x2+2x+1+a=0
16 lut 21:48
wiatr: Jeśli napisał że dla a=−2 robi się r. liniowe to nie ma co sprawdzać tego co napisałeś bo
a−a2 ma być równe 0 dla a=−2 a tak nie jest :<
16 lut 21:48
Metis: * (a−a2)x2+2ax+a2+a=0
16 lut 21:48
Metis: Nie wiem co wy tam piszecie, mam tą samą postać co prosta najważniejsze teraz założenia.
16 lut 21:50
matematyk97: Tak jak mówiłem, chyba nie można przejść obojętnie wobec ax≠2, ale nie mam pojęcia skąd mam
wiedzieć, że dla x=−2 równanie ma jedno rozwiązanie.
16 lut 22:27
matematyk97: Up
17 lut 09:39
matematyk97: Wytłumaczy ktoś skąd mam wiedzieć, że dla x=−2 równanie jest liniowe?
17 lut 18:31
Metis: x=−2 ?
Podałeś miejsce zerowe.
17 lut 19:37
prosta: założenia:
1. a−1≠0 ⇒ a≠1
2. dla a≠1 mamy równanie kwadratowe (1−a)x
2+2x+1+a=0
które ma dwa rozwiązania gdy Δ>0
Δ=4−4(1+a)(1−a)=4−4+a
2=a
2 stąd Δ>0 dla a≠0
3. założenie :ax−2≠0
| | 2 | |
szukamy wartości a dla których rozwiązaniem równania jest liczba |
| : |
| | a | |
| | 4−4a | | 4a | |
|
| + |
| +1+a=0 /a2 |
| | a2 | | a2 | |
4−4a+4a+a
2+a
3=0
a
3+a
2+4=0 schemat Horneera
(a+2)(a
2−a+2)=0
a=−2
stąd ostatecznie: a∊R−{−2,0,1}
17 lut 19:52
matematyk97: Dziękuję Prosta
O to mi chodziło
Tak Metis tam miało być dla a=−2.
17 lut 22:04