oblicz wartość Ewa: 1/(5*7)+1/(7*9)+...+1/(59+61)=?

Ewa: 1/(5*7)+1/(7*9)+...+1/(59*61)=?

Mariusz:

	1
∑k=1n{		}
	(k+4)*(k+6)

Do obliczenia tej sumy może przydać się sumowanie przez części

	k(k+1)(k+2)(k+3)(k+5)
∑k=1n
	(k+4)*(k+6)k(k+1)(k+2)(k+3)(k+5)

Mariusz: http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Matematyka_dyskretna_1/Wyk%C5%82ad_4:_Sumy_sko%C5%84czone_i_rachunek_r%C3%B3%C5%BCnicowy

Mariusz: W mianownikach chyba powinno być (2k+3)(2k+5) i ułamek trzeba poszerzyć tak aby można było użyć sumowania przez części

kasia: rzucamy dwukrotnie kostka oblicz prawdopodobienstwo zdarzen iloczyn oczek wyrzuconych w obydwu rzutach jest mniejszy od 25

Ewa: moc omega=36 moc A=32 Prawdopodobieństwo zdarzenia A = 32/36=8/9

kasia: a czemu tak mi wyszlo 11/12

Ewa: odrzucamy tylko (5,5),(5,6), (6,5),(6,6)

kasia: 5,5 jest rowne 25 a ma byc wieksze

Ewa: w zadaniu iloczyn oczek jest mniejszy od 25

kasia: jestes tam

Ewa: jestem

kasia: a czemu nie 5 6 65 66

Ewa: napisałaś, że iloczyn ma być mniejszy niż 25, więc 5*5=25 − odpada, 5*6=30 − odpada, 6*5=30 − odpada, 6*6=36 też odpada. Mamy 36 wszystkich mozliwości i odrzucamy 4 więc zostaje 32.

kasia: dzieki za pomoc

Ewa: rozumiesz zadanie

kasia: a jak to sprawdzic

jc:

1		1		1		1
	=		(		−		)
k(k+2)		2		k		k+2

Dlatego nasza suma to (1/2)[ (1/5 − 1/7) + (1/7−1/9) + (1/9 −1/11) + ... + (1/59 − 1/60) ] = (1/2) (1/5 − 1/60) = = 11 / 120

Mariusz: Twoją sumę można też zapisać w postaci

	1
an=an−1+
	(2n+5)(2*n+7)

	1
a0=
	35

A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ

	1
∑n=1∞anxn=∑n=1∞an−1xn+∑n=1∞		xn
	(2n+5)(2n+7)

	1
∑n=1∞anxn=x∑n=1∞an−1xn−1+∑n=1∞		xn
	(2n+5)(2n+7)

	1		1
∑n=0∞anxn−		=x∑n=0∞anxn+∑n=1∞		xn
	35		(2n+5)(2n+7)

	1		1
A(x)−xA(x)=		+∑n=1∞		xn
	35		(2n+5)(2n+7)

	1		1
A(x)(1−x)=		+∑n=1∞		xn
	35		(2n+5)(2n+7)

Aby znaleźć tę sumę trzeba by się pobawić całkowaniem szeregu geometrycznego

jc: Oj na koniec pomyliłem się trochę suma = (1/2)(1/5 − 1/61) = 28/305

Mariusz: Gdybyśmy chcieli znaleźć funkcję tworzącą to przy całkowaniu trzeba by było odpowiednio dobrać stałą

Mariusz: Jeśli chodzi o funkcję tworzącą to interesuje nas współczynnik przy x²⁷ czyli po jej znalezieniu wystarczy ją zróżniczkować 27 razy i policzyć wartość w zerze (możliwe że trzeba będzie skorzystać z granicy)

Mila:

	1
Ułamek :		chcę przedstawić w postaci różnicy ułamków prostych:
	(2n+1)*(2n+3)

1		1		2n+3−2n−1		2
	−		=		=
2n+1		2n+3		(2n+1)*(n+3)		(2n+1)*(2n+3)

Wracamy do zadania :

1		2		2		2		2		2
	*(		+		+		+ ....+		+		=
2		5*7		7*9		9*11		57*59		59*61

	1		1		1		1		1		1		1
=		*[		−		+		−		+		−		+...
	2		5		7		7		9		9		11

	1		1		1		1
..+		−		+		−		]=
	57		59		59		61

	1		1		1
=		*[		−		]
	2		5		61

Ewa: Dziękuję bardzo za pomoc

Mila: