całka niewymierna madzior: ∫ √1+¹_x²

	x2+1
przekształciłam do √		, ale nie wiem co dalej
	x

yyhy:

	1
pod całką jest 1+
	x2

madzior: tak

yyhy: no to taka całka będzie bardzo ale to bardzo skomplikowana.... skąd taki przykład?

madzior: Obliczyć długość krzywej danej wzorem y=lnx na przedziale. Można to chyba łatwo zrobić podstawieniem hiperbolicznym, ale ja takiego nie miałam, także pewnie ten przykład mogę ominąć

yyhy:

	√x2+1		1		√x2+1
=∫		dx=		∫		2xdx={x2=t, 2xdx=dt}
	x		2		x2

	1		√1+t
=		∫		dt
	2		t

Chociaż sie obniżyła potęga w pierwiastku, próbuj dalej...pewnie troche zejdzie

madzior: Podstawienie u=√t+1, t =u²−1, dt=2udu

	u2		1
dostaję ∫		=∫1+∫		tutaj rozkład na ułamki proste i chyba powinno wyjść
	u2−1		u2−1

Niestety ja coś pomieszałam, a nie mam siły kolejny raz tego robić. Dziękuję za pomoc

yyhy: rzeczywiście....

Mariusz:

	1
∫√1+		dx
	x2

	1		1
√1+		=t−
	x2		x

	1		t		1
1+		=t2−2		+
	x2		x		x2

	t
1=t2−2
	x

	t
2		=t2−1
	x

1		t2−1
	=
x		2t

	2t
x=
	t2−1

	2(t2−1)−2t*2t
dx=		dt
	(t2−1)2

	−2t2−2
dx=		dt
	(t2−1)2

	1		t2−1		2t2−t2+1
t−		=t−		=
	x		2t		2t

	1		t2+1
t−		=
	x		2t

	t2+1	t2+1
−2∫			dt
	2t	(t2−1)2

	(t2+1)2
−∫		dt
	t(t2−1)2

	(t2−1)2+4t2
−∫		dt
	t(t2−1)2

	dt		4t
=−(∫		+∫		dt)
	t		(t2−1)2

	2
=−(ln|t|−		)+C
	t2−1

	2
=		−ln|t|+C
	t2−1

	2t	1
=			−ln|t|+C
	t2−1	t

	1		1		1
=x		−ln|		+√1+		|+C
	1   1   +√1+ x   x2		x		x2

	1   1   ( −√1+ )   x   x2
=x
	1   1   −(1+ ) x2   x2

	1		1		1
=−(1−x√1+		)−ln|		+√1+		|+C
	x2		x		x2

	1		1		1
=−1+x√1+		−ln|		+√1+		|+C
	x2		x		x2

	1		1		1
=x√1+		−ln|		+√1+		|+C
	x2		x		x2