Granica ciągu z silnią Filip: Witam, jak policzyć taką granicę :

	1+2+22+...+22n		2n!−3
lim		+(		)n!
	4n−1		2n!+2

n→∞ Domyślam się, że należy skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach, lecz nie jestem pewny ograniczenia jakie trzeb użyć z obu stron.

kyrtap:

	1+2+22+ ... + 22n		2n!−3
limn→∞		+ (		)n! =
	4n−1		2n! + 2

	1+2+22+ ... + 22n		2n!−3
limn→∞		+ limn→∞(		)n!
	4n−1		2n! + 2

Teraz rozdzielę sobie liczenie po kolei:

	1+2+22+ ... + 22n		2n − 1
1) limn→∞		= limn→∞		=
	4n−1		4n − 1

	1   2n(1 − )   2n
limn→∞		= 0
	1   4n(1 − )   4n

	1 − 2n
1+ 2 + 22 + ... + 22n = 1*		= 2n − 1
	1 − 2

	2n!−3		2n! + 2 − 5
2) limn→∞(		)n! = limn→∞ (		)n! =
	2n! + 2		2n! +2

	−5		−5
lim n→∞ (1 +		)n! = lim n→∞ (1 +		)n! =
	2n! + 2		2n! + 2

	−5
limn→∞ ((1 +		)2n!+2)[(n!)/(2n!+2)] = e−5(1/2) =
	2n! + 2

e^−5/2

	n!		n!		1
limn→∞				=
	2n!+2		2   n!(2 + )   n!		2

Zatem z 1 i 2 wynika że:

	1+2+22+ ... + 22n		2n!−3
limn→∞		+ (		)n! = e−5/2
	4n−1		2n! + 2

===========================================================================

Godzio: Nic nie trzeba

	1 − 22n + 1
1 + 2 + .. + 22n =		= 22n + 1 − 1 =
	1 − 2

= 2²ⁿ * 2 − 1 = 2 * 4ⁿ − 1

	2 * 4n − 1		2
Więc pierwszy czynnik		dąży do		= 2
	4n − 1		1

	2n! − 3		5
(		)n! = [ (1 −		)2n! + 2 ]n!/(2n! + 2) →
	2n! + 2		2n! + 2

→ (e⁻⁵)^1/2 = e^−5/2 Ostateczna granica to 2 + e^−5/2

Godzio: kyrtap mała pomyłka w sumowaniu 1 + 2 + ... + 2²ⁿ

kyrtap:

kyrtap: ale chciałem dobrze

Godzio: I to się liczy

kyrtap: jak tam Godzio leci?

Godzio: Ciężko Niby sesji nie miałem, ale pracuje więc lekko nie jest W tym semestrze mam najwyższą średnią jaką kiedykolwiek miałem

kyrtap: pochwal się

Godzio: Nie ma czym zbytnio. 4.73

Godzio: A u Ciebie jak ?

kyrtap: eee to Panie jesteś za dobry ja 4.15 więc jakaś tam wygórowana nie jest

kyrtap: Gratulacje

Godzio: Zazwyczaj wokół 4.0 oscylowałem Jakoś z biegiem lat studia stają się łatwiejsze, ostatni semestr i koniec tego dobrego.

Filip: Wszystko jasne, dzięki Panowie za pomoc