Spośród prostopadłościanów o podstawie kwadratowej i polu powierzchni PR: Spośród prostopadłościanów o podstawie kwadratowej i polu powierzchni całkowitej P podaj wymiary tego, który ma największą objętość.

Kacper: Sześcian

Godzio:

	P − 2a2
P = 2a2 + 4ah ⇒ P − 2a2 = 4ah ⇒ h =
	4a

	√2P
P − 2a2 > 0 ⇒ a <
	2

	√2P
a ∊ (0,		)
	2

	P − 2a2		1
V = a2h = a2 *		=		(− 2a3 + aP)
	4a		4

	1		P		√6P
V'(a) =		(−6a2 + P) = 0 ⇒ 6a2 = P ⇒ a2 =		⇒ a =
	4		6		6

	√6P
Pochodna zmienia znak w punkcie a =		z + na − więc mamy maksimum.
	6

	P   P −   6		5		3		5√P
h =		=		P *		=
	√6P   4 *   6		6		2√6P		4√6

	5√6P
h =
	24

PR: to zadanie za 5 pkt na rozszerzeniu, więc sądzę, że napisanie "sześcian" nie wystarczy

Godzio:

	2P   P −   6
Zjadłem 2 i zły wynik wyszedł ... h =
	√6P   4 *   6

Teraz już wyjdzie ten nieszczęśliwy sześcian

Kacper: No właśnie się dziwiłem, że nie wychodził

pomy: skąd przy a ^√2P₂ ?

pomy: Godzio, mógłbyś wytłumaczyć po kolei co się tu dzieje?

Godzio: Liczę wy wysokość ze wzoru na pole całkowite. Wyznaczam dziedzinę dla a. Musi być > 0 bo to długość boku, a dodatkowo wysokość musi być > 0

	√2P
więc otrzymuje warunek <		. Dalej liczę objętość i podstawiam wyznaczone h. Aby
	2

znaleźć maksimum liczę pochodną i przyrównuje do 0. W ten sposób znajduję a. Wracam z tym do

	√6P
wysokości i otrzymuję a = h =
	6

pomy: dzięki