Korzystając z definicji policz pochodną funkcji Emil: mam problem z pochodną. Korzystając z definicji policz pochodną funkcji f(x)=e^−x

	e−(Δx+x) + e−x		e−x (e−Δx −1)
f'(x0) = limΔx→0		= limΔx→0		=
	Δx		Δx

= no właśnie. Nie mam pojęcia jak to dalej ma być. Bo jak podstawię zero to nie wychodzi. Ktoś pomoże?

ICSP:

	ax − 1
limx → 0		= ln(a) .
	x

Emil: dobra, dziękuję

jc: Rachunek zależy od definicji funkcji x → e^x. W części podręczników (np. Rudin) funkcja definiowana jest jako suma szeregu 1 + x + x² /2! + x³/3! + .. (tak liczą komputery − przynajmniej dla małych x) Różniczujemy wyraz po wyrazie i wychodzi e^x. W innych podręcznikach (np. Mikusiński − wstęp do analizy matematycznej − wspaniały podręcznik) jest to funkcja, króra przyjmuje wartość 1 w zerze, i której pochodna jest tą samą funkcją (czyli nic nie trzeba robić). Z jakiej definicji e^x korzystasz?

Emil: z tej drugiej po zastosowaniu tego wzoru który podał ICSP wszystko się zgadza teraz

jc: Gdybym był nauczycielem, poprosiłbym o uzasadnie tego wzoru (a^x−1)/x →ln a bo w nim cała trudność. Można to zrobić tak: (1+1/n)ⁿ < e < (1+1/(n−1))ⁿ stąd 1 < n (e^1/n − ) < n/(n−1) stąd n (e^1/n − 1 ) →1 Wystarczy założenie, że funkcja e^x jest rosnąca. dowolne x, 0 < x < 1, można umieścić pomiędzy dwoma ułamkami 1/(n−1) i 1/n. To wystarczy.

Mariusz: Zajrzyj do podręcznika Franciszka Lei (Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych) tam masz policzoną interesującą granicę jc zgadzam się z tobą

Mariusz: Zgadzam się z twoim ostatnim wpisem tym z 13. lutego 22:39

	x
Funkcja ex była definiowana jako granica limn→∞(1+		)n
	n

azeta: granica

	ax−1
limx→0		nie jest trudną granicą do wyprowadzenia.
	x

a^x−1=t a^x=t+1 x=log_a(t+1)

	t		1		1
limt→0		=limt→0		=limt→0		=lna
	loga(t+1)		loga(t+1)(1/t)		logae