matematykaszkolna.pl
rozbieżność szeregów C: Mając założenie że szereg an jest warunkowo zbieżny, wykazać że szereg n2an jest rozbieżny. Czy mogę to udowodnić nie wprost korzystając z kryterium Dirichleta, że skoro n2 jest monotoniczne ale nie ograniczone, a an jest w pewnym momencie rozbieżny to ich iloczyn nie będzie zbieżny, czyli będzie rozbieżny?
13 lut 12:37
jc: Dowód nie wprost. Gdyby szereg n2 an był zbieżny, to ciąg n2 an byłby zbiezny do 0, a więc ograniczony |n2 an| < C, czyli |an| < C/n2, co dawałoby sprzczność warunkową zbieżnością szeregu an (szereg ten byłby bezwzględnie zbiezny).
13 lut 13:19
C: A dlaczego z ograniczoności n2an wynika bezwzględna zbieżność? Chodzi o to, że on dla pewnego C będzie bezwzględnie zbieżny?
13 lut 13:48
jc: |an| < C/n2 dla pewnej liczby C, szereg 1/n2 jest zbieżny, zatem szereg |an| jest zbieżny. Najprostsze kryterium zbiżnośći: Zakładamy, że 0 ≤ an ≤ bn. Jeśli ∑ bn jest zbieżny, to ∑an jest zbieżny. U nas zamiast an jest |an|, a bn = C/n2.
13 lut 14:10