Przygotowanie do amtury #20 The City: Wykaż, że a+b= −2, jeżeli:

	1		1		1		1
a =		+		+		+		+ .... +
	1 + √2		√2 + √3		√3 + √4		√4 + √5

	1
	√99 + √100

	1		1		1		1
b =		−		+		−		+ .... +
	1 − √2		√2 − √3		√3 − √4		√4 − √5

	1
	√99 − √100

Nie wiem jak rozwiązuje się takie zadania. Od czego powinienem zacząć?

Jack: Usun niewymiernosc to zobaczysz ze zacznie sie wszystko skracac

The City: Nie wiem czy o to Ci chodziło, ale..

	1
Usuwając niewymierności z kolejnych wyrazów "a" widzę, że każdorazowo		zamieniam na
	x+z

z−x oraz, że "x" z poprzedzającego wyrazu jest usuwane przez "z" z kolejnego.. więc z pierwszego wyrazu "a" zostanie −1, a z ostatniego zostanie √100, czyli 10, więc a = −9 ale w b są już na zmianę minusy i plusy, co troche komplikuje...

The City: Nie można tego jakoś z ciągów wyliczyć?

PW: Sumować osobno składniki stojąca na parzystych i na nieparzystych miejscach w obu sumach (nie usuwać niewymierności, tylko dodawać, niewymierności w sumach "usuną się same").

Kacper:

	1
Wystarczy zauważyć, że −		=1+√2
	1−√2

The City: Póki co, to zadanie mnie przerasta Wieczorem zabiorę się za nie od nowa. Dzięki za odpowiedzi.

Jack: Spójrzmy najpierw na "a"

	1		1		1		1
a =		+		+		+ ... +
	1+√2		√2+√3		√3+√4		√99+√100

usuwamy niewymierności po kolei... :

1		1−√2
	=
1+√2		−1

1		√2−√3
	=
√2+√3		−1

1		√3−√4
	=
√3+√4		−1

1		√99−√100
	=
√99+√100		−1

więc właściwie nasze a wygląda tak

	1−√2		√2−√3		√3−√4		√99−√100
a =		+		+		+ ... +
	−1		−1		−1		−1

widzimy ze √2, potem √3 się kasują...wszystko zaczyna się praktycznie usuwać... zostaje nam :

	1−√100		1−10
a =		=		= 9
	−1		−1

Teraz zajmijmy się b:

	1		1		1		1		1
b=		−		+		−		+...+
	1−√2		√2−√3		√3−√4		√4−√5		√99−√100

Podzielmy nasz ciąg tak abyśmy mieli w jednym same plusy, w drugim same minusy... czyli :

	1		1		1
1)		+		+ ... +
	1−√2		√3−√4		√99−√100

oraz drugi

	1		1		1
2) −		−		− ... −
	√2−√3		√4−√5		√98−√99

(wyciągnijmy teraz minus przed wszystko(a raczej wyłączmy) ...)

	1		1		1
= − (		+		+ ... +		)
	√2−√3		√4−√5		√98−√99

więc nasze b to suma tych dwóch ciągów... 1) Tak samo jak w a usuwamy niewymierności i mamy :

1		1		1
	+		+ ... +		=
1−√2		√3−√4		√99−√100

	1+√2		√3+√4		√99+√100
=		+		+ ... +
	−1		−1		−1

otrzymujemy tutaj w liczniku sumę pierwiastków √1+√2+√3+...+√100 Teraz drugi ciąg

	1		1		1
2) − (		+		+ ... +		) =
	√2−√3		√4−√5		√98−√99

	√2+√3		√4+√5		√98+√99
= − (		+		+ ... +		)
	−1		−1		−1

włączamy ten minus z powrotem do środka :

	−√2−√3		−√4−√5		−√98−√99
=		+		+ ... +
	−1		−1		−1

Sumujemy te dwa ciągi aby otrzymać b

1+√2		√3+√4		√99+√100		−√2−√3		−√4−√5
	+		+...+		+		+		+...+
−1		−1		−1		−1		−1

	−√98−√99
		=
	−1

Jak widać mianownik jest −1 więc włóżmy wszystko jako jeden ułamek...

1+√2+√3+√4+...+√99+√100 − √2−√3−√4−√5 − ... −√98−√99
−1

jak widać wszystko się skraca i zostaje nam :

1+√100		11
	=		= −11
−1		−1

Sumujemy a i b 9 + (−11) = 9 − 11 = − 2 c.n.w. )))) uff koniec...

The City: Jack − stokrotne dzięki za piękny elaborat! nie wiem jak się odwdzięczę DZIĘKI!

Jack:

Kacper: Poproszę piwko dla mnie

The City: