całka ★:

	2tgx
∫		dx
	1−tgx

wiem, że należy zastosować podstawienie uniwersalne. tak zrobiłam. ale dochodzę do takiego momentu:

	t
−4∫		dt
	t4+2t3+2t−1

nie mam pojęcia co dalej zrobić. pewnie należy podzielić ten ułamek na ułamki proste, ale nie wiem jak się za to zabrać. jakaś podpowiedź, wskazówka?

Mariusz: Można było podstawić t=1−tgx

Mariusz: Spróbuj mianownik przedstawić najpierw w postaci różnicy kwadratów t⁴+2t³+2t−1=t⁴+2t³+t²−t²+2t−1 t⁴+2t³+2t−1=(t²+t)²−(t−1)² t⁴+2t³+2t−1=(t²+1)(t²+2t−1)

Heniek: Przecież jak zrobisz podstawienie za sin i cos to masz tą postać którą podał ci Mariusz w mianowniku, nawet nie trzeba zamieniać. I nie jestem pewny tego minusa ktory ci wyszedł przy 4 przed całką.

jc: A może tak (dla uproszczenia stawiam minus przed wszystkim): 2 tg x / ( tg x − 1) = (tg x +1 ) / (tg x −1) + 1 Całka z drugiego składnika jest oczywista. Liczymy pierwszy składnik. Podstawiamy u = tg x, x = atan u, dx = du / (1+u²) Mamy do obliczenia calkę z funkcji wymiernej (u + 1)/[(u+1)(u¹+1)] = 1/(u−1) − u / (u²+1) ∫ = ln |u−1| − (1/2) ln (u²+1) Zatem oryginalna całka = − ln |tg x −1 | + (1/2) ln (tg² x +1) − x

jc: Dwie literówki (3 linia od końca):

u +1		1		u
	=		−
(u−1)(u2+1)		u−1		u2+1