równanie różniczkowe różek: równanie różniczkowe Wyznacz rozwiązanie ogólne równania poprzez konstrukcję rozwiązań bazowych: a) y'' + 3y' −10y = 0 λ² = 3λ − 10 = 0 λ₁ = −5 λ₂ = 2 rozwiazanie bazowe : e^−5x, e^2x rozwiazanie ogólne : C₁e^−5x + C₂e^2x jak sprawdzic poprawnosc b) y'' + 3y' −10y = 130cosx jak to ugryzc ?

yht: jak sprawdzić poprawność w a) niech y = C₁e^−5x + C₂e^2x policz y' oraz y'' a następnie wstaw do y''+3y'−10y=0 powinieneś otrzymać 0=0 b) najpierw rozwiązujesz y'' + 3y' − 10y = 0 wychodzi y = C₁e^−5x + C₂e^2x potem y'' + 3y' − 10y = 130cosx przewidujesz y = A*sinx + B*cosx liczysz pochodne y' = A*cosx − B*sinx y'' = −A*sinx − B*cosx wstawiasz do y'' + 3y' − 10y = 130cosx −A*sinx−B*cosx+3(A*cosx−B*sinx)−10(A*sinx+B*cosx)=130cosx −A*sinx−B*cosx+3A*cosx−3B*sinx−10A*sinx−10B*cosx=130cosx (−3B−11A)*sinx+(3A−11B)*cosx=130cosx −3B−11A = 0 3A−11B=130 układ równań

	11
−3B = 11A → B = −		A
	3

	11
3A−11*(−		A)=130
	3

	121
3A+		A = 130 |*3
	3

9A+121A=390 130A=390 → A=3

	11		11
B=−		A → B=−		*3 = −11
	3		3

y = A*sinx + B*cosx → y = 3sinx − 11cosx sumujesz oba rozwiązania y₁ = C₁e^−5x + C₂e^2x oraz y₂ = 3sinx − 11cosx ostatecznie, rozwiązaniem równania jest y = C₁e^−5x + C₂e^2x + 3sinx − 11cosx

różek: dziekuje yht