Wykaż że Dartpizza: Cześć napotkałem kolejny problem z zadaniami: Wykaż, że jeśli a≤b, to 4(a³−b³)≤(a−b)³ Rozpisałem sobie wzory i dalej już nie wiem co robić. Czy ktoś mógłbym mi coś doradzić co dalej?

Kacper:

jc: 4(a³−b³)− (a−b)³ = 3(a−b)(a+b)² < 0, jesli a < b. Dlatego 4(a³−b³) < (a−b)³. Wzory: (a+b)²=a²+2ab+b² (a−b)²=a²−2ab+b² a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²)

PW: Inny sposób. Dla a = b nie ma czego dowodzić (obie strony nierówności są zerami). Jeżeli a < b, to badana nierowność 4(a−b)(a² + ab +b²) ≤ (a − b)³ po podzieleniu przez ujemne a − b jest równoważna nierówności 4(a² + ab + b²) ≥ a² − 2ab + b², 3a² + 3b² + 6ab≥ 0 (1) 3(a+b)² ≥ 0, która jest prawdziwa dla dowolnych a i b. Pokazaliśmy, że badana nierówność jest prawdziwa dla a =b, zaś dla a < b jest równoważna prawdziwej nierówności (1), co kończy dowód. Prawdę mówiąc jest to ten sam dowód co dowód jc, tylko trochę inaczej opowiedziany.