Zadanie rekurencyjne problem Denwer: Witam mam problem z takim zadaniem

	9
Dana jest rekurencja: s(n) = 3s(n−1) −		s(n−2) i s(0)=1 i s(1)=3
	4

a)Oblicz s(2), s(3) b)Wyznacz wzory jawne (ogólne) następującej zależności rekurencyjnej Wychodzą mi dziwne liczby, prosiłbym o wytłumaczenie zadania.

yyhy:

	9		9		3
s(2)=3s(1)−		s(0)=3*3−		*1=7
	4		4		4

	9
s(3)=3s(2)−		s(1) policz sam
	4

Denwer: Dziękuje za pomoc

jc: s₂, s₃ to chyba jasne jak znaleźć. s_n = (1+n) (3/2)ⁿ Jak uzyskać wzór? Szukamy rozwiązania w postaci A zⁿ + B n zⁿ, wiedząc że z²=3z − 9/4. Wyraz przy B wynika z tego, że równanie kwadratowe ma pierwiastek podwójny. Potem dobieramy A, B, tak aby wyszło s₀ i s₁. Gdyby były dwa różne pierwiastki, to szukalibyśmy rozwiązania w postaci Azⁿ + B wⁿ.

Denwer: Źle zacząłem obliczać, ale ze wzorem to nie mogłem sobie poradzić, dzięki wielkie.

Mariusz: Aby wyznaczyć wzór jawny lepiej skorzystać z funkcji tworzących S(x)=∑s(n)xⁿ

	9
∑s(n)xn=∑3s(n−1)xn−∑		s(n−2)xn
	4

	9
∑s(n)xn=3x∑s(n−1)x(n−1)−		x2∑s(n−2)xn−2
	4

	9
∑s(n)xn=3x∑s(n)x(n)−		x2∑s(n)xn
	4

	9
∑s(n)xn−1−3x=3x(∑s(n)x(n)−1)−		x2∑s(n)xn
	4

	9
S(x)−1−3x=3xS(x)−3x−		x2S(x)
	4

	9
S(x)(1−3x+		x2)=1
	4

	1
S(x)=
	9   1−3x+ x2   4

	1
S(x)=
	3   (1− x)   2

	3		1
∑(		)nxn=
	2		3   1− x   2

d		3		d	1
	∑(		)nxn=
dx		2		dx	3   1− x   2

	3		1		3
∑n(		)nx(n−1)=−		( −		)
	2		3   (1− x)2   2		2

	3		1		3
∑(n+1)(		)(n+1)xn=		(		)
	2		3   (1− x)2   2		2

	3		1
∑(n+1)(		)nxn=
	2		3   (1− x)2   2

	3
S(x)=∑(n+1)(		)nxn
	2

	3
s(n)=(n+1)(		)n
	2

"Źle zacząłem obliczać..." Gdybyś użył funkcji tworzącej (funkcji zdefiniowanej za pomocą szeregu którego współczynnikami są wyrazy ciągu) to byś wiedział jak sobie poradzić bo wystarczy wstawić tę funkcję i każdy następny krok obliczeń wynika z poprzedniego W równaniach różniczkowych to już aż tak dobrze nie działa i dlatego zostają takie rzeczy które podaje jc W pewnych równaniach po zastosowaniu funkcji tworzących dostajemy równania różniczkowe W równaniach liniowych o stałych współczynnikach to nie występuje bo funkcja tworząca jest wymierna i można ją rozłożyć na sumę szeregów geometrycznych i ich pochodnych