Przygotowanie do matury #19 The City: Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n podana liczba jest podzielna przez 6 a) 2n(4n² −1) b) n(n² −7) c) n⁹ − n a) rozłożyłem na 2n(2n−1)(2n+1) |sprawdziłem wolframem uzasadnienie podzielności: jeżeli liczbę można zapisać jako iloczyn liczby parzystej i liczby nieparzystej to jest on podzielny przez 6 c) rozłożyłem na n(n−1)(n+1)(n²+1)(n⁴+1) |sprawdziłem wolframem uzasadnienie podzielności: iloczyn n kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez n! Pytanie teraz czy 1) takie uzasadnienia są ok (w szczególności to 2, bo je gdzieś słyszałem, ale nie jestem pewien czy dokładnie tak ono brzmi, nie mówiąc nawet o tym czy jest ono prawdziwe...) oraz 2) jak uzasadnić b), bo zastanawiam się czy ten podpunkt wymaga w ogóle rozkładania... Z góry dzięki

Benny: 2n(2n−1)(2n+1)=... iloczyen 3 liczb jest podzielny...

yyhy: a) 2*n(4n²−1) 1. Jeżeli n=3k (podzielna przez 3) to ok Jeżeli n=3k+1 to (4n²−1)=4(3k+1)² −1=4(9k²+6k+1)−1=9*4k²+6k*4+3=3(..) i tez ok Jeżeli n=3k+2 ro (4n²−1)=4(3k+2)²−1=4(9k²+12k+4)−1=9*4k²+12k*4+15=3(..) i też jest ok c) (n−1)n(n+1).... co 3 kolejna liczba jest podzielna przez 3 i co druga przez 2..więc na pewno się tam znadzie podizelna przez3 i przez 2 więc całość przez 2*3=6

The City: c) już wiem co i jak a) dlaczego zaczynasz od n=3k? tego nie rozumiem...

yyhy: No chciałem ci inny sposó przedtawić. Kazdą liczbe moge zapisać albo 3k albo 3k+1 albo 3k+2 np 25=3*8+1

yyhy: No i rozważam te 3 przypadki

The City: Ok, to już wiem o co z tym chodzi.. ale nie wiem dlaczego podstawiałeś np. 3k+1 pod n z nawiasu, a to n, które jest przed pominąłeś..

yyhy: Bo mnie interesował tylko ten człon 4n²−1 W tym momencie n było nieważne W sensie pokazałem że 2(4n²−1) jest podzielne przez 2*3=6 (więc tym bardziej będzie 2n(4n²−1)

The City: Teraz rozumiem. Dzięki za wytłumaczenie

Jack: a) oaz c) Wsrod trzech kolejnych liczb naturalnych wystepuje co najmniej jedna liczba parzysta i co najmniej jedna liczba podzielna przez 3 zatem ich iloczyn jest podzielny przez 6.

Jack: b) tak jak yyhy napisal jesli n = 3k to... I wymnazasz Jesli n= 3k+1 to... Jesli n= 3k+2 to...

yyhy: n(n²−7)=n(n²−1−6)=n(n⁻1)−6n=(n−1)n(n+1)−6n albo tak

Kacper:

prosta: witaj , Kacper