Pieścienie, pierścionki Benny: a♠b=a+b+1, a♣b=ab+a+b Uzasadnić, że pierścień (Z, ♠, ♣) jest izomorficzny z pierścieniem (Z, +, *).

Benny:

jc: Izomorfizm (Z, ♠, ♣) → (Z, +, *) zadaje funkcja f(x)=x+1. Należy sprawdzić równości: f(a ♠ b) = f(a) + f(b), f(a♣b) = f(a)f(b).

Benny: Skąd ta funkcja?

jc: Odgadnięta. Może po prostu gdzieś kiedyś widzialem, a może wypatrzyłem równość ab+a+b+1 = (a+1)(b+1).

Benny: Skąd to +1?

jc: Może tak? f(ab+a+b)=f(a)f(b) Dla b = 0 mamy f(a) = f(a)f(0). f jest izomorfizmem, więc dla pewnych a, f(a)≠0. Dlatego f(0)=1. Dalej, f(a+b+1)=f(a)+f(b). W szczególności f(a+1)=f(a)+f(0)=f(a)+1. f(1)=f(0+1)=f(0)+1=1+1=2 f(2)=f(1+1)=f(1)+1=2+1=3 itd. f(n)=n+1 dla dodatnich n. Dalej, dla n>0 mamy f(−n)+f(n)=f(−n+n+1)=f(1)=2, czyli f(−n)=2−f(n)=2−(n+1)=−n+1, czyli wzór jest ogólny. Ale czy ten rachunek coś wyjaśnia?

Benny: No dobra, ale przecież nie wiemy czy f(ab+a+b)=f(a)f(b) itd.

yyhy: Zobacz sobie definicje izomorfizmu...

Benny: Nie było pytania. Mam rozumieć, że w zadaniach tego typu problemem jest jedynie znalezienie funkcji?

yyhy: Jak są izomorficzne..to ma istnieć izomorfizm (funkcja taka,że.)