całka całka : mam problem z pewną całką

	arcsinx
∫		dx
	x2

poratuje ktoś?

jakubs: Przez części

całka : no tu trochę utknęłam bo zrobiłam u=arcsinx v'= ¹_x²

	1
u'=		v= − 1x
	√1−x2

	arcsinx
−		+ ∫1x√1−x2 dx
	x

znowu przez części

	1
u=		v'=1x
	√1−x2

u'= arcsinx v=¹_x²

arcsinx		arcsinx		arcsinx
	−		−∫
x		x2		x2

układam równanie

	arcsinx		arcsinx		arcsinx		arcsinx
∫		=		−		−∫
	x2		x		x2		x2

	arcsinx		arcsinx		arcsinx
2∫		=		−
	x2		x		x2

ale to w ogóle nie pasuje do odpowiedzi

jakubs: Ojoj, a nie lepiej po częściach zrobić podstawienie t = √1−x² ?

Jerzy: Takie podstawienie nic nie da, trzeba I podstawienie Eulera

jc: Może prościej: podstawiamy x = sin t, całkujemy przez części pozbywając się t (zostawiamy 1/sin t), to potrafimy wycałkować, wracamy do x i mamy wynik: (asin x) /x − (1/2) tg ln [(asin x) /2] Na wszelki wypadek pierwszy krok: ∫ (asin x) / x dx = ∫ (t cos t) / (sin t)² dt = ∫ t (1/sin t)' dt = t / sin t − ∫ (1/sin t) dt

jc: Cały rachunek, już bez błędów. x = sin t, dx = cos t dt, t = asin x, (1/sin t)' = cos t / (sin t)² ∫(asin x) / x² dx = ∫ (t cos t) / (sin t)2 dt = ∫ t (1/sin t)' dt = t / sin t − ∫ (1/sin t) dt = t / sin t − ln tg (t/2) = (asin x) / x − ln tg [(asin x) /2]

jakubs: Ja uważam, że moje podstawienie da Po podstawieniu:

	arcsinx		1		arcsinx		1
−		+ ∫		dt = −		− ∫		dt =
	x		t2 − 1		x		1−t2

	arcsinx
= −		− tanh−1(√1−x2) + C
	x

jc: Cóż, pomyliłem znak: (1/sin t)' = − cos t / (sin t)² Zatem powinno być: − asin(x)/x + ln(tg(asin(x) /2)). Tera oba wyniki są poprawne, i równe, ale sprawdzenie równości jest chyba trudniejsze od obliczenia całek.

całka : dziękuję bardzo

Mariusz:

	arcsin{x}		arcsin(x)		dx
∫		dx=−		+∫
	x2		x		x√1−x2

	arcsin{x}		arcsin(x)		dx
∫		dx=−		+∫
	x2		x		x√1−x2

√1−x²=xt−1 1−x²=x²t²−2xt+1 −x²=x²t²−2xt −x=xt²−2t 2t=xt²+x x(t²+1)=2t

	2t
x=
	t2+1

	2t2−t2−1		t2−1
xt−1=		=
	t2+1		t2+1

	2(t2+1)−2t*2t
dx=		dt
	(t2+1)2

	−2t2+2
dx=		dt
	(t2+1)2

	t2+1	t2+1	t2−1
−2∫				dt
	2t	t2−1	(t2+1)2

	dt
=−∫
	t

=−ln|t|+C

	√1−x2+1
=−ln|		|+C
	x

	arcsin{x}		arcsin(x)		√1−x2+1
∫		dx=−		−ln|		|+C
	x2		x		x