Badanie zbieżności ciągu rekurencyjnego matjez: Witam, mam problem ze zrozumieniem metod badania zbieżności ciągów. W zadaniu mam zbadać zbieżność podanego niżej ciągu, a jeśli jest zbieżny, to policzyć jego granicę.

	1
an+1 =		dla n>/0 i a0=0
	2 + an

Korzystając z "lim a_n+1=lim a_n= g" obliczyłem granicę g= √2−1, ale nie wiem co z tą zbieżnością. Z góry dzięki za każde przybliżenie tematu.

matjez: Przy zalozeniu a_n+1−a_n >0 wychodzi mi 1 > a_n(a_n + 2). Nie wiem, czy to udowadnia monotoniczność.

jc: A może tak? a_n =[ (1+√2)ⁿ − (1−√2)ⁿ ] / [ (1+√2)ⁿ⁺¹ − (1−√2)ⁿ⁺¹ ] →1/(1+√2)=√2−1 Przy okazji, ciąg nie jest monotoniczny, ale mozna w nim wyróżnić dwa podciągi monotoniczne − parzyste wyrazy oraz nieparzyste. A w ogóle, to po prostu rozwinięcie wyniku w nieskończony ułamek łańcuchowy.

matjez: A czy z tym ciągiem można zrobić podobnie?

	1
an+1 =		(1+an2)
	4

Granica wychodzi 2−√3, ale ciągle nie wiem od czego zacząć w badaniu zbieżności...

jc: a_n+2−a_n+1 = (a_n+1² − a_n²)/4. To załatwia monotoniczność. Jak zaczniemy od 0, to ciąg będzie rosnący. Poza tym jesli a_n < 1, to a_n+1 < (1+1)/4 = 1/2 < 1, czy jakoś tak ..