Rozwiązać równanie postacią trygonometryczną lub wykładniczą liczb zespolonych Marcin: Korzystając z postaci trygonometrycznej (lub wykładniczej) liczb zespolonych rozwiązać równanie: x³ = −1 Liczba zespolona w postaci wykładniczej to re^iφ a więc: (re^iφ)³ = −1 Sprowadzam −1 do postaci trygonometrycznej, a następnie wykładniczej aby móc porównać części rzeczywiste z urojonymi: |z|=√(−1)²+(0)²=1 cosφ=¹₁=1 sinφ=⁰₁=0

	π
Można założyć iż jest to ćwiartka pierwsza +,+ ,a więc φ=α0=
	6

	π
α0=
	6

Teraz wracając do równania: (re^iφ)³ = re ^π/6*i Porównuje części rzeczywiste r³=r r³−r=0 r(r²−1)=0 r=0 ⋁ r²−1=0 r=0 ⋁ r²=1 r=0 ⋁ r=1 I teraz moje zasadnicze pytanie czy należy zawsze dodawać 2kπ jako cały okres sinusa czy cosinusa, czy robi się to tylko gdy wykładnik urojony (przy e) ma wartość zero ? Tak to dalej rozwiązywać:

	π
3φ=		+2kπ
	6

Czy tak:

	π
3φ=
	6

Bo nie wiem od czego to zależy, proszę o pomoc

piotr1973: ⁿ√z= ⁿ√|z|*e^{(Arg(z)+2kπ)/n}, k=0,1,...,n

Marcin: Czyli mam zamienić x³ na pierwiastek trzeciego stopnia z x * cześć urojona e ? Argumentem z będzie wtedy φ ?

piotr1973: poprawka k=0,1,..n−1

	1		√3
dla k=0 mamy 1*eiπ/3 =		+i
	2		2

dla k=1 mamy 1*e^{i(π/3+2π/3)} = −1

	1		√3
dla k=2 mamy 1*ei(π/3+4π/3) =		−i
	2		2

Marcin: Dobrze dzięki ,za wyjaśnienie, popełniłem błąd podczas podstawiania wartośc α₀ =0 a nie

	π
	6

piotr1973: poprawka w podanym przeze mnie wzorze w wykładniku e powinna być oczywiście jednostka urojona i

piotr1973: można to rozwiązać również tak: x³+1 =(x+1)(x²−x+1) czyli x = −1 i pozostałe pierwiastki z Δ=−3

	1−i√3		1+i√3
x=		∨ x=
	2		2

Marcin: Też można tyle ze nie jest to postać ani trygonometryczna ani wykładnicza, a o co prosi polecenie W każdym razie gdyby nie to, też tak by można było