Warunki różniczkowalności funkcji C: Witam, mam takie pytanie czy odnośnie tytułu tematu, dobrze sobie to opisałem? 1) Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w punkcie x0, to jest w tym punkcie ciągła. 2) Jeżeli funkcja nie jest ciągła w danym punkcie, to nie ma w tym punkcie pochodnej. 3) Ciągłość funkcji jest warunkiem koniecznym dla istnienia pochodnej, ale nie jest warunkiem wystarczającym. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, to znaczy, że jeśli funkcja jest ciągła w punkcie x0, to nie znaczy, że jest różniczkowalna w tym punkcie. Przykładem funkcji, która w punkcie x0 jest ciągła, a nie jest różniczkowalna jest funkcja f(x)=|x|. Warto zauważyć, że funkcje wielomiane, wymierne, potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne i trygonometryczne są ciągłe w swoich dziedzinach, a więc nie trzeba sprawdzać ich ciągłości jeżeli wykazujemy ich różniczkowalność, a jedynie sprawdzamy czy dana funkcja jest różniczkowalna w punktach w których podejrzewamy, że mogłaby nie być. Funkcja jest różniczkowalna w danym podejrzanym punkcie jeżeli pochodne: lewostronna i prawostronna z tego puntu są równe, liczymy to z definicji f'+(x0) = lim x−> 0+ ( f(x0+h) − f(x0) ) / h f'−(x0) = lim x−> 0− ( f(x0+h) − f(x0) ) / h Mimo wszystko ciągłość warto dodatkowo sprawdzać w zadaniach z 2 parametrami, uzyskujemy wtedy 2 równania z których wyznaczymy 2 niewiadome parametry.

Jerzy: "Funkcja jest różniczkowalna w danym podejrzanym punkcie jeżeli pochodne: lewostronna i prawostronna z tego puntu są równe, liczymy to z definicji" przemyśl ten zapis

C: w 3/4 linijce od końca pomyłka zamiast x: h −> 0+ oraz h −> 0−

C: O to chodzi, czy coś innego źle zapisałem?

Jerzy: co znaczy pochodna lewo i prawostronna ?

C: Jeżeli sprawdzam czy wzór jakieś funkcji ma pochodną w punkcie x = 2; to dla mnie pochodna lewostronna wyznaczana jest wzorem f'−(2) = lim h−> 0− ( f(2+h) − f(2) ) / h natomiast pochodna prawostronna f'+(2) = lim h−> 0+ ( f(2+h) − f(2) ) / h Gdy są równe to funkcja w tym punkcie ma pochodną a więc jest w nim różniczkowalna. Chodzi Ci o to że coś źle sformułowałem? czy źle to rozumiem od strony praktycznej?

Jerzy: Funkcja jest różniczkowalna w punkcie , jeśli granica lewo i prawostronna ilorazu różnicowego są równe ( innymi słowami: istnieje granica ilorazu różnicowego)

C: Być może bardziej poprawnie to brzmi, dzięki.