Wielomiany Krzysiek: Wartość wielomianu R(x) = a_nxⁿ + ... + a₀ jest całkowitą podzielną przez m ∊ N dla x ∊ Z. Udowodnij, że n!a_n jest podzielne przez m.

Krzysiek:

Kacper: Z jakiego konkursu?

Krzysiek: Z żadnego, to jest z tej strony : http://wm.staszic.waw.pl/materialy/1257372336-28081.pdf http://wm.staszic.waw.pl/kolka/

anaisy: Indukcja. Dla n=0 działa załóżmy, że działa dla n=k (1). Niech wielomian R(x) ma stopień k+1. Rozważmy wielomian W(x)=R(x+1)−R(x). Współczynnik przy x^k w tym wielomianie jest równy (k+1)a_n czyli stopień tego wielomianu jest równy k. Stąd z założenia (1)mamy m|k!*(k+1)a_n.