ciaglosc funkcji Madz: zbadac ciaglosc funkcji i zbadac rodzaj nieciaglosci tej funkcji f(x) = sinx / x² + x

Jerzy: funkcja nie jest ciągła w : x = −1 oraz x = 0 jest to nieciągłość drugiego rodzaju

grzest:

	sin(x)
Funkcja f(x)=		+x jest nieciągła tyko w punkcie x=0.
	x2

f(−1)=sin(−1)−1 ≈ −1,017. https://www.wolframalpha.com/input/?lk=3&i=plot+y%3Dsinx+%2F+x^2+%2B+x

Jerzy: W mianowniku jest chyba x² + x

grzest: Ale z pierwszego wpisu tego nie widać. Jest przecież: " zbadac ciaglosc funkcji i zbadac rodzaj nieciaglosci tej funkcji f(x) = sinx /x² + x", nie widzę tam żadnego nawiasu.

Przemysław: Ale przecież punkt x=0 nie należy do dziedziny. Więc czemu miałaby być nieciągła w x=0? Przecież np. tangens jest ciągły. Tak samo 1/x.

Przemysław: Ja bym obstawał za tym, że cała funkcja jest ciągła, jako suma funkcji ciągłych. Poza tym widać tę ciągłość na tym wykresie, który grzest wrzucił.

Jerzy: Funkcja nie może być ciągła w punkcie, w którym nie istnieje

grzest: Zacznę od przypomnienia definicji funkcji ciągłej: Mówimy, że funkcja f:(a,b) → R jest ciągła w punkcie x₀∊(a,b) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica tej funkcji w tym punkcie i równa jest ona jej wartości w tym punkcie (formalnie: lim_{x → x0} f(x) = f(x₀)). W definicji tej ani słowem nie wspomniano o tym czy badany punkt należy do dziedziny funkcji czy też nie. Podano jedynie, że funkcja f określona jest na zbiorze (a,b). Nie rozumiem więc dlaczego można badać funkcji poza jej dziedziną. Przeglądając strony podręczników akademickich, np. „Analiza Matematyczna w Zadaniach” cz. 1 W. Krysickiego i L. Włodarskiego na str. 78 czytamy: „Funkcje trygonometryczne są ciągłe: 1⁰ sin x i cos x dla wszystkich wartości x, 2⁰ tg x dla x≠1/2(2kπ+1), gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą, itd” Twierdzenie, że funkcja tg x jest funkcją ciągłą bez podania warunku dla x≠1/2(2kπ+1) jest według mnie wielkim błędem i niedorzecznością, wprowadzającą młodych ludzi w błąd. Niestety w wielu nowych publikacjach takie stwierdzenia są na porządku dziennym. Na przykład na stronie http://eszkola.pl/matematyka/ciaglosc-funkcji-5216.html czytamy: „Przykładami funkcji ciągłych są wszystkie funkcje wielomianowe (a zatem w szczególności funkcje liniowa i kwadratowa), funkcje wykładnicze i logarytmiczne, funkcje sinus, cosinus, tangens i cotangens oraz złożenia wszystkich powyższych funkcji (złożeniem funkcji nazywamy funkcję powstałą z dwóch lub więcej funkcji w wyniku połączenia ich operacjami arytmetycznymi).” Pomijając fakt, że złożenie funkcji to nie połączenie ich operacjami matematycznymi ale superpozycja tych funkcji, widać że tworzona tu jest jakaś „nowa matematyka”. Tylko dla kogo, czyżby dla uczniów z różnymi dysfunkcjami? Przypominam jeszcze ogólnie znaną umowę, podawaną w podręcznikach szkół średnich (nie chce mi się szukać konkretnych przykładów), że jeśli dziedzina funkcji nie jest podana w sposób jawny, przyjmujemy, że jest nią cała oś liczbowa R. Wracając do naszego zadania, pytania są następujące: 1. Czy funkcja f(x) posiada skończoną granicę w punkcie x₀ =0? 2. Czy funkcja ma określoną wartość f(x₀ ) w x₀ =0? W obu przypadkach odpowiedź jest negatywna. Jak można więc twierdzić, że f(x) jest funkcją ciągłą? Dlatego rację ma Jerzy, twierdząc „Funkcja nie może być ciągła w punkcie, w którym nie istnieje”. Nie jest przecież spełniony drugi warunek definicji ciągłości. Przypominam, że definicja ta nie mówi nic o dziedzinie funkcji. Podaje jedyne zbiór, na którym jest ona określona. Na koniec trochę humoru. Rozumując w ten sposób jak Przemysław łatwo jest dojść do stwierdzenia: Funkcje nieciągłe nie istnieją. Bo jeśli tyko stwierdzimy, że w jakimś punkcie (zbiorze) nie ma ona określonych wartości lub granic, wyrzucamy ten punt (zbiór) z dziedziny funkcji. Pozostałe części ciągłe sumujemy. I w ten sposób mamy mamy kolejny przykład „nowej matematyki”. https://pl.wikipedia.org/wiki/Z%C5%82o%C5%BCenie_funkcji

Przemysław: Dopiero sprawdziłem, czy odpowiedzieliście Może spojrzycie jakoś przypadkiem. W takim razie żadna funkcja nie jest ciągła. Weźmy funkcję f:A→B załóżmy, że f jest ciągłe na A. Załóżmy, że x₀ nie należy do A. W takim razie f nie jest ciągłe na x₀. Więc f nie jest ciągłe. Dlatego ciągłość bada się na dziedzinie.

Przemysław: No chyba, że zakładacie że zawsze badacie ciągłość na |R, albo na czym innym, ale chyba badanie jej na dziedzinie ma największy sens. Jeżeli polecenie byłoby "zbadaj ciągłość funkcji na |R" no to wtedy ok.

Przemysław: Macie rację, że się myliłem pisząc: "Więc czemu miałaby być nieciągła w x=0?" Bo ona tam, jak mnie skorygowaliście nie jest ciągła. Ale sądzę, że Wy się mylicie, mówiąc że funkcja jest nieciągła.

Przemysław: No i jeszcze: "Rozumując w ten sposób jak Przemysław łatwo jest dojść do stwierdzenia: Funkcje nieciągłe nie istnieją. Bo jeśli tyko stwierdzimy, że w jakimś punkcie (zbiorze) nie ma ona określonych wartości lub granic, wyrzucamy ten punt (zbiór) z dziedziny funkcji. Pozostałe części ciągłe sumujemy. I w ten sposób mamy mamy kolejny przykład „nowej matematyki”." Oczywiście to ja tworzę nową matematykę... No to przykład funkcji, która nie pasuje do Twojego rozumowania: f: |R→|R

	⎧	x+1, dla x≥0
f(x)=	⎩	x, dla x<0

granica w zerze, z lewej to 0, w zerze z prawej to 1, a wartość w zerze to 1. jak widać ona jest nieciągła w zerze, ale ma w nim określoną wartość. ALE, gdyby funkcja była g: |R\{0}→|R\{1} to taka funkcja byłaby ciągła. Przepraszam za posty po sobie.

Jerzy: Weźmy funkcję: ... f(x) = [x] D = R , a funkcja nie jest ciągła

Przemysław: Tak. Do czego zmierzasz?

Jerzy: Do tego,że punkty nieciągłości mogą należeć do dziedziny

Przemysław: No oczywiście, że tak.

Przemysław: 13:17 − dokładnie przykład tego pokazałem.

Przemysław: Chyba się mocno nie rozumiemy. Oto, co twierdzę: mówimy, że funkcja jest ciągła, wtedy i tylko wtedy gdy jest ciągła na dziedzinie. Uzasadnienie (nie dowód, bo to definicja/konwencja) Jeżeli przyjmiemy definicję, że nieciągłość w punkcie spoza dziedziny sprawia, że funkcja nie jest ciągła, to definicja będzie bezużyteczna − okaże się, że wszystkie funkcje są nieciągłe, bo wystarczy rozważyć ciągłość w dowolnym punkcie spoza dziedziny.

Przemysław: Zgadzasz się z tym, czy nie?

Przemysław: .

Przemysław: .

Przemysław: .

Przemysław: .