Prosta i płaszczyzna- kąt przecięcia
Mat: Znaleźć kąt pod jakim prosta l przecina płaszczyzne π
π= 4x + y + 5z −13
l:
x= 3+s
y= 2+2s
z= 4+3s
Znalazłem punkt przecięcia prostej i płaszczyzny:
s=−1
P(−3, 0, 1)
Ale co dalej? W jaki sposób wyznaczyć kąt?
Mam wybrać kolejny punkt na prostej, obliczyć jego odległość od płaszczyzny pod katem 90stopni
i podstawić do którejś funkcji trygonometrycznej?
6 lut 11:46
Jerzy:
| | π | |
Φ = |
| − α , gdzie α to kąt między wektorem normalnym plaszczyzny i kierunkowym prostej |
| | 2 | |
6 lut 12:05
6 lut 12:11
Mat: czyli tak:
π= 4x + y + 5z −13
l:
x= 3+s
y= 2+2s
z= 4+3s
Znalazłem punkt przecięcia prostej i płaszczyzny:
s=−1
P(2, 0, 1)
Wektor normalny płaszczyzny to (4,1,5) tj (A, B, C)
Wektor kierunkowy prostej to (2, 0, 1) tj (x, y, z)
kąt pomiędzy wektorami to:
cosα = Ax + By + Cz /
√A2+B2+C2*
√x2+y2+z2
Tak? I wyliczyc α z cosα a następnie odjąć 90stopni − α
6 lut 12:42
Mat: czy źle wyznaczyłem wektory? Bo wychodzą mi jakieś dziwne liczby...
PS: cos α czy sin α? We wzorach mam cos.
6 lut 12:45
Jerzy:
Punkt przecięcia jest niepotrzebny. Patrz wzór 12:11 , na kąt α
6 lut 12:45
Jerzy:
tam ma być oczywiście cosα
6 lut 12:49
Jerzy:
jeśli zastosujesz wzór z 12:11 , to już jest szukany kąt między prostą i płaszczyzną
( nic już nie odejmujesz )
6 lut 12:58
Jerzy:
ja taam źle napisałem powinno być: sinΦ , a nie sinα
6 lut 12:59
Mat: ok ok
Czyli
Wektor normalny płaszczyzny to (4,1,5) tj (A, B, C)
Wektor kierunkowy prostej to (2, 0, 1) tj (x, y, z)
Φ = 90stopni − α
α = 90stopni − Φ
cos α = cos ( 90stopni − Φ)
cos α = sin α
W ten sposób?
kąt pomiędzy wektorami to:
cosα = Ax + By + Cz / √A2+B2+C2*√x2+y2+z2
cos α = 4*2 + 1* 0 + 1*5 / √16+1 + 25 * √4+0+1
cos α = 13/ √210
czyli
cos (90stopni − Φ) = 13/ √210
tj
sin α = 13/ √210 = 91 √14 / 105
Tak?
Wynik wyszedł... dziwny. Prosiłbym o rozwiazanie i sprawdzenie czy tak to ma być.
6 lut 13:00
Mat: źle spisałem.
Ma byc:
cos Φ = cos (90stopni − α) = Ax + By + Cz / √A2+B2+C2*√x2+y2+z2
cos (90stopni − α) = sin α
czyli
sin α= Ax + By + Cz / √A2+B2+C2*√x2+y2+z2
Tak?
6 lut 13:05
Jerzy:
n [ 4,1,5 ]
k [ 1,2,3 ]
n o k = 21
InI*IkI =
√588
| | 21 | |
Φ = arcsin( |
| ) ≈ 61o |
| | √588 | |
6 lut 13:08
Mat: k [ 1,2,3 ]
Dlaczego?
6 lut 13:19
Jerzy:
to wektor kierunkowy prostej
6 lut 13:19
Mat: Wiem, ale dlaczego jest taki? skąd ta wziąć?
6 lut 13:37
Jerzy:
z postaci parametrycznej prostej ( z treści zadania)
6 lut 13:38