matematykaszkolna.pl
Przekształcenie liniowe tom: Cześć. Powtarzam sobie zaległe wykłady na egzamin i mam pewne pytania dotyczące przekształceń liniowych. Z definicji, aby przekształcenie A: Rn −> Rm było liniowe musi spełniać następujące własności: 1) ∀α∈R , x∈Rn. A(αx)=αA(x) 2) ∀x,y∈Rn. A(x+y) = A(x)+A(y) Zatem jeśli mam takie przykłady (mam nadzieję, że zapis będzie zrozumiały): a)T:R3 −> R2
 
nawias
x
nawias
nawias
y
nawias
 
nawias
x−2y+z
nawias
nawias
x−z
nawias
 
T :
{z} =
   
b)T:R3 −> R3
 
nawias
x
nawias
nawias
y
nawias
 
nawias
x+y
nawias
nawias
y+z
nawias
 
T :
{z} =
{z+x}
   
c)T:R3−>R3
 
nawias
x
nawias
nawias
y
nawias
 
nawias
x
nawias
nawias
x+y
nawias
 
T :
{z} =
{x+y+z}
   
To przecież wszystkie tego typu zadania będą przekształceniami liniowymi bo zawsze będzie można wyciągnąć dla warunku 1) α przed T oraz dla warunku 2 rozdzielić T np. (x+x1)−(z+z1) na (x−z)+(x1−z1) itd. Np (przykład a)
 
nawias
x
nawias
nawias
y
nawias
 
nawias
αx
nawias
nawias
αy
nawias
 
nawias
αx−2αy+αz
nawias
nawias
αx−αz
nawias
 
nawias
x−2y+z
nawias
nawias
x−z
nawias
 
nawias
x
nawias
nawias
y
nawias
 
1) T ( α
{z}) =
{αz} =
= α
= α T
{z}
      
 
nawias
x
nawias
nawias
y
nawias
 
nawias
x1
nawias
nawias
y1
nawias
 
nawias
x+x1
nawias
nawias
y+y1
nawias
 
2) T (
{z} +
{z1} ) =
{z+z1} =
    
 
nawias
(x+x1)−2(y+y1)+(z+z1)
nawias
nawias
(x+x1)−(z+z1)
nawias
 
nawias
x−2y+z
nawias
nawias
x−z
nawias
 
nawias
x1−2y1+z1
nawias
nawias
x1−z1
nawias
 
nawias
x
nawias
nawias
y
nawias
 
=
+
=T
{z} +
     
 
nawias
x1
nawias
nawias
y1
nawias
 
T
{z1}
  
Podobnie b i c, chyba, że czegoś nie zrozumiałem.
3 lut 17:33