Podzielność Damian: Wyznacz najmniejsza liczbę naturalną, która w wyniku podzielenia przez 7 daje resztę 1, przez 8 daje 2 a przez 11 daje resztę 3.

Mila: Czytaj : Chińskie tw. o resztach. n=7k+1 n=8m+2 n=11k+3 −−−−−−−−− 1≤n≤7*8*11 znajdujemy najmniejsze k, takie , że liczba n=7k+1 spełnia drugie równanie: 1 (k=0,r=1), 8( k=1,r=0), 15 ( k=2,r=7), 22, 29, 36, 43,50 (k=7, r=2) 50=6*8+2 Rozwiązaniem pierwszego i drugiego równania są liczby postaci: n=50+(7*8)j n=50 +56 j znajdujemy najmniejsze j, takie , że liczba n=50 +56 j spełnia równanie n=11k+3: 50 (j=0, r=6) ,106 (j=1,r=7) , 162, j=2, r=8),218 (j=3, r=9,),274 (j=4, r=10), 330(j=5, r=0, ) ,386 (j=6,r=1), 442 (j=7, r=2),498( j=8, r=3) n=498+(56*11)s, s∊N N=498 to najmniejsza szukana liczba. To takie ręczne obliczanie na piechotę.

Mila: II sposób: n=7k+1 n=8m+2 n=11k+3 −−−−−−−−−−−−− Szukamy liczby , która spełnia (1) i (2) równanie: 7k+1=8m+2⇔ 7k=8m+1 7⁻¹ w Z₈ to 7 , 7*7=49=6*8+1 7k=1(mod8) /*7 49k=7 (mod8) k=7(mod8) k=8s+7 podstawiamy do (1) n=7*(8s+7)+1⇔n=56s+50 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Szukamy rozwiązania dla układu n=56s+50 n=11k+3 56s+50=11k+3 56s=11k−47 56s=−47(mod11) 1s=−47 (mod11)⇔s= (−47+55)(mod11) s=8(mod11)⇔s=11t+8 Podstawiamy n=56*(11t+8)+50 n=616t+448+50 n=498+616t, t∊N ==============