jakby któś mogł pomoc. zadania są z równań różniczkowych gabi94: Rozwiązać równania: a) x²y²y'+xy³=1 b) e^x(1+e^y)+e^y(1+e^x)y'=0 c)y''+2y'+y=8e^x d)y'''+y''=e^x−x²

Jerzy: a) podziel przez x²y² i podstaw u = y/x b) równanie zupełne

Mariusz: a) równanie Bernoulliego b) równanie o rozdzielonych zmiennych c) oraz d) równanie liniowe niejednorodne wyższego rzędu

Mariusz: a) x²y²y'+xy³=1 3x²y²y'+3xy³=3 u=y³ x²u'+3xu=3 x²u'+3xu=0 x²u'=−3xu

u'		3
	=−
u		x

du		dx
	=−3
u		x

ln|u|=−3ln|x|+ln|C| u=Cx⁻³ u(x)=C(x)x⁻³ x²(C'(x)x⁻³−3C(x)x⁻⁴)+3C(x)x⁻²=3 C'(x)x⁻¹=3 C'(x)=3x

	3x2
C(x)=		+C1
	2

	3		C1
u(x)=		+
	2x		x3

	3		C1
y3=		+
	2x		x3

	3
x3y3=		x2+C1
	2

	3
x3y3−		x2=C1
	2

b) e^x(1+e^y)+e^y(1+e^x)y'=0 e^x(1+e^y)=−e^y(1+e^x)y'

ex		ey
	=−		y'
1+ex		1+ey

ex		ey
	dx=−		dy
1+ex		1+ey

ln|1+e^x|=−ln|1+e^y|+ln|C|

	C
1+ex=
	1+ey

(1+e^x)(1+e^y)=C c) y''+2y'+y=8e^x y=e^λx λ²e^λx+2λe^λx+e^λx=0 (λ²+2λ+1)e^λx=0 (λ²+2λ+1)=0 (λ+1)²=0 λ₁=−1≠1 y_s=Ae^x Ae^x+2Ae^x+Ae^x=8e^x 4Ae^x=8e^x 4A=8 A=2 y=(C₁+C₂x)e^−x+2e^x d) y'''+y''=e^x−x² y=e^λx λ³e^λx+λ²e^λx=0 (λ³+λ²)e^λx=0 (λ³+λ²)=0 λ²(λ+1)=0 λ₁=0 (pierwiastek dwukrotny) λ₂=−1≠1 y_s=Ae^x+x²(B₂x²+B₁x+B₀) y_s'=Ae^x+(4B₂x³+3B₁x²+2B₀x) y_s''=Ae^x+(12B₂x²+6B₁x+2B₀) y_s'''=Ae^x+(24B₂x+6B₁) Ae^x+(24B₂x+6B₁)+Ae^x+(12B₂x²+6B₁x+2B₀)=e^x−x² 2Ae^x+(12B₂x²+(24B₂+6B₁)x+(6B₁+2B₀))=e^x−x² 2A=1 12B₂=−1 6B₁=2 2B₀=−2

	1		1		1
y=C1e−x+C2x+C3+		ex−		x4+		x3−x2
	2		12		3