Rozwiąż równanie zespolone Teodor: Rozwiązać równanie (z − i)³ + 1 = 0. Pierwiastki zapisać w postaci algebraicznej.

Teodor: Jak się za to zabrać? podstawić pod z x+iy?

5-latek: A może (z−i)³=z³−3z²i+3zi²−i³ Ale nie jestem pewien czy tak można

ICSP: z = ³√−1 + i. Otrzymasz w ten sposób trzy pierwiastki : z₁ , z₂ , z₃.

Mila: (z − i)³ + 1 = 0⇔ (z−i)³+1³=0 (z−i+1)* [(z−i)²−(z−i)*1+1²]=0 z−i+1=0 lub (z²−2zi+i²−z+i+1)=0 z=−1+i lub z²−(2i+1)*z+i=0, Δ=−3=3i²

	2i+1−√3i		2i+1+√3i
z=−1+i lub z=		lub z=
	2		2

	1		2−√3		1		2+√3
z=−1+i lub z=		+		*i lub z=		+		*i
	2		2		2		2

Rozwiąż równanie kwadratowe Albo tak: (z−i)³=−1 z−i=³√−1 |−1|=1 φ=π i teraz wzory de Moivre'a

Teodor: Przepraszam że tak chyba głupio zapytam ale czy mogę sobie założyć że ³√−1 = 1? i wtedy mam z=1+i r=√2? φ=3/4pi? Bo to 2 ćwiartka tak?

Mila: Nie możesz , przecież 1³=1 a nie (−1) W R: ³√−1=−1 bo (−1)*(−1)*(−1)=−1 ³√8=2 bo 2*2*2=8 ³√−8=−2 bo (−2)*(−2)*(−2)=−8 Co tam pokręciłeś? Wyciągasz ³√−1 |−1|=1 φ=π

	π+2kπ		π+2kπ
zk=3√1*(cos		+i sin		), k=0,1,2
	3		3

	π		π		1		√3
z0=(cos		+i sin		)=		+		i
	3		3		2		2

	1		√3
z−i=		+		i
	2		2

	1		√3
z=		+		i+i
	2		2

	π+2π		π+2π
z1=(cos		+i sin		)=cosπ+i sinπ
	3		3

z₁=−1 z−i=−1⇔z=−1+i

	π+4π		π+4π
z2=(cos		+i sin		) to juz sam dokończ,
	3		3

wiesz jaki wynik, bo masz już rozwiązane wcześniej

Teodor: mój błąd nie wstawiłem minusów, ale nie rozumiem tego przejścia: z−i=³√−1 |−1|=1 bo wychodzi mi na to że z=³√−1 +i czyli z=−1+i. (Pewnie brakuje mi teorii.)

Mila: I tak wyszło, najpierw, oblicz wszystkie pierwiastki ³√−1, a potem podstawiaj. z−i=z₀ z−i=z₁ z−i=z₂

Teodor: Wow nie wiedziałem że można po prostu potraktować tą prawą stronę jako funkcje z, to wiele ułatwia, dzięki. czyli z2=⁻¹₂+^2−√3₂

Teodor: oj z2= ⁻¹ ₂ − u{ √ 3 } { 2 } i + i