Bardzo proszę o wyjaśnienie jak to się robi. Lim: Wyznaczyć jądro i obraz przekształcenia liniowego L : R³ −→R³ określonego wzorem L(x, y, z) = (x + y − z, 2x − y, 3y − 2z).

Lim: Jak to zrobić?

Godzio: Obraz: L(1,0,0) = (1,2,0) L(0,1,0) = (1,−1,3) L(0,0,1) = (−1,0,−2) Trzeba teraz sprawdzić czy wektory są liniowo niezależne. a(1,2,0) + b(1,−1,3) = (−1,0,−2) a + b = − 1

	1
2a − b = 0 ⇒ a = −
	3

	2
3b = −2 ⇒ b = −
	3

a+b = −1 więc są zależne stąd wywalamy jeden z wektorów i mamy: (są też inne metody sprawdzenia liniowej niezależności − np wyznacznik) (1,2,0) i (1,−1,3), te wektory są już oczywiście liniowo niezależne. Im(L) = Lin { (1,2,0), (1,−1,3) } Jądro: L(x,y,z) = (0,0,0) x + y − z = 0 ⇒ x + 2x − 3x = 0 2x − y = 0 ⇒ y = 2x 3y − 2z = 0 ⇒ 3y = 2z ⇒ 6x = 2z ⇒ z = 3x Stąd rozwiązaniem jest y = 2x z = 3x x ∊ R Stąd wektor (1,2,3) (za x wziąłem jedynkę) Ker(L) = Lin { (1,2,3) }

Lim: Dziękuje Godzio.