Wykaż, że równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste Ludwik Montgomery: Wykaż, że równanie x⁷−7x+13 ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste. f'(x)= 7x⁶−7 x⁶=1 x=1 x=−1 Jak będzie tutaj wyglądał wykres pomocniczy funkcji? Tak czy tak? Od czego to zależy?

PW: Co to jest u licha "wykres pomocniczy funkcji"? Przez taki żargon tracimy sens i zaczynamy myśleć "jak to się robi" zamiast "co to znaczy". Miejsca zerowe pochodnej mogą być punktami, w których f(x) osiąga ekstrema lokalne. Rozstrzygnięcie, czy są, polega na ustaleniu, czy w sąsiedztwie tych punktów f'(x) zmienia znak. W tym celu rysujemy wykres przybliżony wielomianu x⁶−1 = (x³−1)(x³+1), aby odczytać jego znaki z prawej i lewej strony punktów x₁ = 1 oraz x₂ = 1. Równie dobrze można nic nie rysować, tylko o tym opowiedzieć. Gdy już ustalimy gdzie jest ekstremum lokalne i czemu jest równe, to pewnie odpowiemy na pytanie postawione w zadaniu.

3Silnia&6: f'(x) = 7x⁶ − 7 f'(x) < 0 ⇔ x ∊ (−1, 1) − funkcja malejaca dla x∊(−1,1), dla pozostalych rosnie. f(−1) = −1 + 7 + 13 = 19 > 0 Czyli wykres funkcji wyglada jakos tak:

3Silnia&6: Zle polczylem, wartosc funkcji dla x=−1 Ale schemat rozwiazania moze wygladac jak wyzej.

Ludwik Montgomery: @PW dzięki, ale jak mam narysować ten wielomian? Wiem, że muszę zacząć od prawej strony i od góry, ponieważ ma współczynnik a dodatni, ale co dalej?

PW: A wcale nie rysuj. Rozwiąż nierówność (x³−1)(x³+1) > 0. Wskazówka: Dla x < 1 lub dla x > 1 oba czynniki są ujemne, czyli iloczyn jest dodatni.

Ludwik Montgomery: ehh, wychodzą mi jakieś bzdury.. może jeszcze jakaś podpowiedź?

3Silnia&6: Spróbuj sobie narysowac przyblizony wykres funkcji. Moze po prostu poprawie wczesniejszy zapis. f(−1) = −1 + 7 + 13 = 19 f(1) = 1 − 7 + 13 = 14− 7 =7 Oznacze A=(−1,19); B=(1,7) Funkcja rosnie od −∞ do −1, f(−1) >0, wiec mamy jedno miejsce zerowe (niebieski punkt). Pozniej maleje do x=1, ale f(1) > 0, wiec nie ma miejsca zerowego, dalej rosnie, wiec wiadomo,ze nie bedzie. Czyli wychodzi 1 rozwiazanie.