Klasy abstrakcji Mo: Bardzo proszę o pomoc w wyznaczeniu klasy x i zbadaniu i ile ta klasa ma elementów w zależności od x dla x²−y²=x−y Niby znam definicję klas abstrakcji i w elementarnych przykładach wiem o co chodzi, ale tutaj nie wiem ja do tego podejść.

PW: A ja nie wiem jak pomóc. Ani porządnej definicji relacji, ani informacji na jakim zbiorze określona.

Mo: No tak. Relacja w R (rzeczywiste) określona przez xRy ⇔ x²−y²=x−y

Mo: Czy klasy tej relacji to będą [0]={0, 1} [1]={0, 1} [x]={x, x>1} ?

PW: Zobaczmy co tak naprawdę oznacza definicja x² y² = x − y (x − y)(x + y) = x − y oznacza to, że albo x = y, albo x ≠ y i x + y = 1. Zwrotność i symetryczność relacji są oczywiste. Przechodniość − nie. 3 + (− 2) = 1 i (− 2) + 3 = 1, ale nieprawda, że 3 + 3 = 1. Na szczęście 3 i 3 pozostają w badanej relacji, bo 3 = 3. Nie udało się znaleźć kontrprzykładu, zatem udowodnijmy: Niech x i y oraz y i z należą do relacji, czyli (1) x + y = 1 i y + z = 1 − wynika stąd po odjęciu stronami, że x − z = 0. a więc para (x, z) też należy do badanej relacji. Relacja jest więc równoważnościowa i ma sens pytanie o klasy abstrakcji. [x] = {y: y = x ⋁ y = − x + 1} (na rysunku w układzie współrzędnych to zbiór złożony z pary (x, x) i prostej poziomej o równaniu y = − x +1).

	1
W szczególności gdy − x + 1 = x, to znaczy gdy x =		, klasą abstrakcji jest tylko prosta
	2

	1
y =
	2

	1		1
(punkt (		,		) należy do tej prostej).
	2		2

Mo: Wydaje mi się, że już to rozumiem, bardzo dziękuję!

Mo: A jak wyglądałoby zbadanie ile ta klasa ma elementów? Nieskończenie wiele?

PW: Oj, coś mi się zdaje, że sknociłem odpowiedź. Przecież klasą abstrakcji o reprezentancie x mają być wszystkie liczby pozostające z nim w relacji, a nie jakieś proste (zbiory par). Zobaczyłem napis (*) y = − x + 1 i zadziałał stereotyp: "to jest prosta". Nie, to jest po prostu inna liczba niż x, określona równością (*). Na przykład [5] = {5, − 5 + 1} = {5, 4} klasa abstrakcji o reprezentancie 5 składa się z dwóch liczb: 5 oraz − 4. Sprawdzamy: 5⁵ − 5² = 5 − 5 oraz 5² − 4⁴ = 5 − 4. Nic więcej.

	1
Tak jak pisałem wyżej, liczba		jest szczególna, bo
	2

	1		1
[		] = {		}
	2		2

	1
− tu klasa abstrakcji składa się tylko z jednej liczby (równość y = − x + 1 daje y =		,
	2

definicja relacji zastosowana bezpośrednio pokazuje:

	1		1
(		)2 − y2 =		− y
	2		2

	1		1		1
(		− y)(		+y − 1) = 0 ⇔ y =		.
	2		2		2

Tym razem wydaje mi się, że:

	1
− klasa abstrakcji o reprezentancie		ma jeden element
	2

− pozostałe klasy abstrakcji mają po dwa elementy: [x] = {x, − x+1}. Piszę "wydaje mi się", bo łba nie dam sobie uciąć za te wywody. W drugim pokoju leży bardzo chora żona i bez przerwy woła mnie albo coś niezrozumiale mamrocze. Odrywam się na chwile, żeby nie zwariować, ale efekty są marne. Przepraszam za zamęt myślowy.