całki nieoznaczone izelek: jak obliczyć tę całkę? ∫√1+x²dx

Jerzy: I podstawienie Eulera: √1 + x² = t − x

izelek: dalej nie wiem jak to ugryźć, nie widzę tego kompletnie

Jerzy: na początek podnieś obustronnie do kwadratu i oblicz: x

Mila: Na taką całkę jest wzór (wyprowadzony w Krysickim i innych podręcznikach):

	x		k
√x2+k =		√x2+k+		ln|x+√x2+k|+C
	2		2

gdzie k− dowolna stała dodatnia lub ujemna

Jerzy: a dlaczego nie może sam do tego dojść ?

Jerzy: jeśli dostał to jako zadanie domowe z ćwiczeń z matematyki, to nie sądzę , aby asystent oczekiwał,że poda rozwiazanie korzystając z ogólnodostepnych wzorów na całki

Mila: Masz rację, ale może skorzystać z wyprowadzenia, to będzie wiedział, jak zastosować podstawienie.

Jerzy: I o to chodzi Mila ... chcę mu/jej pokazać krok po kroku jak dojść do wyniku

Mila: Tak będzie najlepiej.

izelek: Spokojnie proszę Pana, próbuję policzyć wg Pana wskazówek Nie lubię jak czegoś nie rozumiem, więc próbuję to zrobić od początku do końca

izelek: √1+x²=t−x 1+x²=t²−2tx+x² 2tx=t²−1

	t2−1
x=
	2t

czyli

	t2−1
[...]=∫t−		dt i to rozbijam na 2 całki, tak?
	2t

Jerzy: spokojnie.... teraz liczymy: √1+x² = t − x ....podstaw obliczone wyżej x

izelek:

	(t2−1)2		t2−1
√1+		=t−
	2t2		2t

nie za dużo powstawiałam?

Jerzy:

	t2−1		t2 + 1
za dużo ...√1+ x2 = t − x = t −		=		... to mamy ( sprawdź )
	2t		2t

teraz musisz policzyć: dx

izelek: pozwoliłam sobie policzyć na kartce ( tak jak i sprawdzić to co Pan wyliczył)

	t2+1
dx=		dt
	t2

Jerzy:

	t2 + 1
gdzieś masz drobny błąd ... dx =		dt ... sprawdź
	2t2

izelek: przy skracaniu, już widzę

Jerzy: dobra...mamy wszystko ..teraz podstawiamy do całki:

	t2+1		t2+1
√1+x2 =		oraz dx =		dt
	2t		2t2

izelek:

	(t2+1)2
∫		dt ?
	4t3

Jerzy:

	1
dokładnie ... teraz		przed całkę , wykonaj potęgowanie w liczniku
	4

i rozbij na trzy całki elementarne

izelek:

1		1
	t2+ln|t|−
8		8t2

wydaje mi się, że to nie tak powinno wyjść

Jerzy: prawie dobrze ...zweryfikuj drugą całkę

izelek:

1		2t2		1
	∫		dt=		∫dt/t
4		t3		2

Okej

	1
tam powinno być		ln|t|
	2

Mila: Podam inny sposób: ∫√x²+1 dx=

	x2+1		x2		1
=∫		dx= ∫		dx+∫		dx=
	√x2+1		√x2+1		√x2+1

	x2
= ∫		dx+ln|x+√x2+1|
	√x2+1

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	x2		x
J= ∫		dx=∫x*		dx= teraz przez części
	√x2+1		√x2+1

	x
[x=u, dx=du, dv=		,
	√x2+1

	x		1		2x		1
v=∫		dx =		∫		dx=		*2√x2+1=√x2+1]
	√x2+1		2		√x2+1		2

J=x*√x²+1−∫√x²+1 dx −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−wracamy do początku: ∫√x²+1 dx=x*√x²+1−∫√x²+1 dx+ln|x+√x²+1| /+∫√x²+1 dx 2*∫√x²+1 dx=x*√x²+1+ln|x+√x²+1| /:2

	x		1
∫√x2+1 dx=		√x2+1+		ln|x+√x2+1|+C
	2		2

Jerzy: dokładnie tak ... na końcu wyniku dopisz stałą: + C ... i po zadaniu

Jerzy: oczywiście wcześniej za t podstaw: √1 +x²

izelek: dziękuję, przepraszam że tyle czasu to trwało, w końcu zrozumiałam <3