wykaż Naimad: wykaz że jeśli liczby rzeczywiste a,b,c spełniają nierówność a>b>c to 2a−b>2c−a jakaś podpowiedź ? przy rozwiązywnaiu takich zadań należy "sugerować" się tezą?

Naimad: .

ikd: a−b>0>c−a Skoro a>c, to 2a−b>2c−a

Naimad: dzięki ale czy jest jakiś inny sposób na dojście do tego?

Naimad: a np zadanie: wykaż że jeśli x>2 i y>2 to xy+4>2(x+y) jak postępować w takim zadaniu jeśli nie ma pomysłu co zacząć liczyć?

ikd: (x−2)(y−2)>0 Wystarczy tylko przekształcić tą nierówność

Naimad: no okej, ale chodzi mi o ogólny algorytm postępowania z takimi zadaniami bo np gdybym nie widział że pomnożenie da mi wynik to co wtedy

PW: Po pierwsze podstawić dowolne dwie liczby spełniające założenie, żeby uzmysłowić sobie, czy twierdzenie jest prawdziwe. x = 3, y = 4 − dla takich liczb twierdzenie zmienia się w zdanie 3·4 + 4 > 2(3 + 4) 16 > 14, jest to zdanie prawdziwe. Podobnie można sprawdzić dla x = 3 i y = 2,5 lub dowolnej innej pary. To nie dowód, ale upewnienie się, że nie próbujemy udowodnić rzeczy jawnie fałszywej. Teraz zaczynamy myśleć nad dowodem. Jeżeli obie liczby są jednakowe, tzn. y = x >2, mamy do czynienia z nierównością (1) x² + 4 > 2(x+x), x >2 x² − 4x + 4 > 0, x >2 (x − 2)² > 0, x >2 − nierówność ta jest prawdziwa w sposób oczywisty (staje się fałszywa tylko dla x = 2). Mamy już pewien postęp w dowodzie − twierdzenie jest prawdziwe, gdy y = x. Zobaczmy zatem, co by było gdyby jedna z liczb była większa od drugiej. Ponieważ role obu liczb w twierdzeniu są jednakowe (zamiana x na y i y na x nic nie zmienia w treści twierdzenia), możemy bez straty ogólności założyć, że y > x > 2. W takiej sytuacji, gdy nie mam pomysłu jak przeprowadzić dowód, zawsze próbuję pozbyć się jednaj zmiennej, np. podstawić y = kx, k >1. Otrzymamy równoważną tezę (2) x·kx + 4 > 2(x + kx), k>1, x > 2. Ktoś powie "zamienił stryjek siekierkę na kijek" − dalej jest to nierówność z dwiema niewiadomymi, tyle że zamiast x i y mamy x i k. Można jednak popatrzeć na nierówność (2) tak jak na nierówność (1) − obie są nierównościami kwadratowymi o dziedzinach (2, ∞), tyle że (2) jest nierównością z parametrem k > 1. Jeżeli uda się pokazać, że (2) jest prawdziwa w całej dziedzinie dla wszystkich wartości parametru k >1, to zwycięstwo. Jeżeli nie − szukamy innego sposobu, ale przynajmniej mamy poczucie, że wykonaliśmy jakąś rozsądną próbę. Postaraj się samodzielnie ocenić ten pomysł.

Eta:

Eta: @ PW Marnujesz się ! Pisz podręczniki !

Naimad: Dziękuję bardzo PW

Eta: x>2 i y>2 ⇒ x−2>0 i y−2>0 Jeżeli taka nierówność jest prawdziwa , to przekształcamy ją równoważnie xy−2x−2y+4>0 x(y−2) −2(y−2)>0 (y−2)(x−2)>0 wniosek............................. i c.n.w

PW: Eta, nie naśmiewaj się staram się pomagać jak umiem (oczywiście pomysł nie był najlepszy, gdy się spojrzy na 17:46, ale nie każdy takie coś widzi, a trzeba jakoś się bronić).

Metis: A tak całkiem poważnie PW to naprawdę byłbyś świetnym autorem podręczników