Zadanie różniczkowe 2 rzędu Zofia: Witam mam problem ze zrozumieniem równań różniczkowych Czy ktoś może rozwiązać jedno zadanie i w miarę możliwości powiedzieć dlaczego robi się to tak a nie inaczej? y'' + y' = x² − e^−x + e^x

daras: http://edu.pjwstk.edu.pl/wyklady/am/scb/index90.html

Janek191: Krysicki Analiza matematyczna w zadaniach tom II s.288 − 300

kyrtap: masz równanie niejednorodne drugiego rzędu czyli takie gdzie: y'' + p(t)y' + q(t)y = h(t) (ja będę używał zamiast zmiennej "x" zmiennej "t") Rozwiązanie równania niejednorodnego (LN) składa się z układu fundamentalnego (y₁(t), y₂(t)) równania jednorodnego (LJ) oraz dowolnego rozwiązania niejednorodnego φ(t). Zatem y(t) = C₁y₁(t) + C₂y₂(t) + φ(t) Stąd: y'' + y' = t² − e^−t + e^t y'' + y' = 0 λ² + λ = 0 (równanie charakterystyczne) λ(λ+1) = 0 λ = 0 ∨ λ = −1 y₁(t) = e^0t = 1, y₂(t) = e^−t (1, e^−t) − układ fundamentalny Można tutaj się posłużyć metodą superpozycji rozbijając to na trzy równania i metodą przewidywań aby wyznaczyć φ(t) ja posłużę się metodą uzmienniania stałej. Zatem φ(t) = c₁(t)y₁(t) + c₂(t)y₂(t) | 1 e^−t| |c₁'(t)| | 0 | | | | | = | | | 0 −e^−t| |c₂'(t)| | t² − e^−t + e^t | Z wzorów cramera: W(y₁(t),y₂(t)) = −e^−t

	−e−t(t2 − e−t + et)
c1'(t) =		= t2 − e−t + et
	−e−t

	t3
c1(t) = ∫t2 − e−t + et dt + C1=		+ e−t + et + C1
	3

	t2 − e−t + et
c2'(t) =		= −t2et + 1 − e2t
	−e−t

	1
c2(t) = ∫−t2et + 1 − e2tdt + C2 = −t2et + 2tet − 2et + t −		e2t + C2
	2

Dla C₁ = 0 i C₂ = 0:

	t3		1
φ(t) = (		+ e−t + et )*1 + e−t(−t2et + 2tet − 2et + t −		e2t ) =
	3		2

	t3		1
		+ e−t + et − t2 + 2t −2 + te−t −		et
	3		2

Zatem:

	t3		1
y(t) = C1 + C2e−t +		+ e−t + et − t2 + 2t −2 + te−t −		et
	3		2

kyrtap: widzę że koleżanka sobie poszła i ma w "du...."

PW: Nie szkodzi, to prawdziwa przyjemność patrzeć jak Ty dużo osiągnąłeś

kyrtap: to zasługa bardziej wasza niż moja

PW: Skoro już gawędzimy, to muszę przyznać, że równania różniczkowe były zmorą (jak to dużo zależy od wykładowcy i prowadzącego ćwiczenia; nie będę pisał kto, bo to wielkie postacie). Umysł szybko wypiera nielubiane rzeczy, i dziś nawet nie jestem w stanie sprawdzić tego co napisałeś

kyrtap: ja akurat solidnego miałem starszego wykładowcę lubię mieć zajęcia ze starą gwardią uczelni widać ich doświadczenie w nauczaniu

kyrtap: PW a u Ciebie jak tam powodzi się?

Mila: Patryk, starej gwardii z definicji powodzi się dobrze, o ile zdrowie dopisuje. Oby tak dalej.