Wykaż, że Aneta: Wykaż, że Założenie: a,b>0 a+b=1

	1		1		25
Teza: (a+		)2+(b+		)2≥
	a		b		2

PW:

1

1

1

1

1

1

L = (a+

)2 + (+

)2 = a2 + b2 + 2a

+ 2b

+

+

=

a

b

a

b

a2

b2

	(a+b)2 − 2ab
= (a+b)2 − 2ab + 4 +		.
	(ab)2

Z założenia (a+b) = 1, a więc

	1 − 2ab
(1) L = 1 − 2ab + 4 +
	(ab)2

Z założenia wynika też, że

	1		1		1		1
a =		+ x i b =		− x, x∊(−		,		),
	2		2		2		2

gdyż liczby a i b są dodatnie i ich suma równa jest 1. Oznacza to, że

	1		1
(2) ab = (		+ x)(		− x),
	2		2

a więc

	1
(3) 0 < ab ≤
	4

co wynika z własności funkcji kwadratowej (2). Z (3) wynika

	1		1
(4) 0 > − 2ab ≥ −		i (		)2 ≥ 16.
	2		ab

Zastosowanie nierówności (4) pozwala oszacować L określoną wzorem (1)::

	1		1   1 −   2		9		25
L ≥ 5 −		+		=		+ 8 =		,
	2		1     16		2		2

cbdo.