Liczba rozwiązań równania - wielomiany i funkcje kwadratowe. Vuko: Cześć, mam problem z pewnym typem zadań. Najpierw je przytoczę (jedno mam nawet rozwiązane) a potem nakreślę problem. zad.1.Wyznaczymy wszystkie wartości parametru, m dla ktorych równanie x⁴+5mx²+4m²+3m=0 ma trzy różne rozwiązania. rozwiązanie: rówanie (*) x⁴+5mx²+4m²+3m=0 sprowadzamy do równania kwadratowego przez podstawienie x²=t i otrzymujemy równanie: (**) t²+5mt+4m²+3m=0 równanie(*) ma trzy rozwiązania wtedy gdy równanie (**) ma 2 rozwiązania, z ktorych jedno jest dodanie a drugie równe zeru. Dalsza część rozwiązania jest nie istotna, dla problemu jest najważniejsze ostatnie zdanie. zad.2. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x⁴−(m+1)x²+1=0 ma 4 różne rozwiązania. Opis problemu: Ktoś mógłby mi wyjaśnić na jakiej podstawie robi się te założenia jak w ostatnim zdaniu zadania nr1 ? Te założenia, że równanie (*) ma 3 rozwiązania gdy (**) ma 2 rozwiązania [...] ? Mam rozumieć że zadanie nr 2 trzeba wykonać analogicznie? Jakie tutaj będą założenia?

Jack: zad 2. 1) m+1 ≠ 0 2) jako ze rozne rozwiazania to Δ > 0 i nwm, to chyba tyle... no wiadomo ze x₁ ≠ x₂ ≠ x₃ ≠ x₄

Jack: zad 1. nie wiem czemu sa takie zalozenia... ja bym zrobil Δ > 0 i chyba tyle : d moge napisac jak bym je rozwiazal jesli Ci zalezy ; D

Jack: a co do tego 1. rownanie kwadratowe ma 2 rozne pierwiastki kiedy Δ > 0 wiec rownanie do potegi czwartej ma 4 rozne pierwiastki , gdy Δ > 0, czyli gdy zrobimy z tego rownanie kwadratowe i otrzymamy 2 rozne pierwiaskti... przy czym rownanie do czwartej daje nam 4 rozwiazania, wiec jakies musi sie powtorzyc

Jack: a nie , wlasciwie dochodza nam warunki w zad 1. t₁ * t₂ = 0 t₁ + t₂ > 0 bo faktycznie jeden musi byc zerem, bo tylko 0² = 0, a kazda inna liczba ma dwie mozliwosci np. 4 = 2² lub −2². A te drugie rozwiazanie musi byc wieksze od zera, bo kwadrat liczby musi byc liczba nieujemna

Vuko: Czy ktoś mi to wytłumaczy po ludzku bo Jack tylko mi to niemiłosiernie skomplikował

Vuko: czyli w takim razie w zadaniu 2. będzie : x4−(m+1)x2+1=0 (*) x²=t t²−(m+1)t+1=0 (**) Więc jeśli Δt>0 to (**) ma 2 rozwiązania, więc (*) ma 4 rozwiązania. a jakie dać założenia do t1+t2 i t1xt2

Jack: Hmmm ...xd 4 rozne czyli t1 i t2 musza byc wieksze od zera... Skoro obydwa wieksze od zera noto ich iloczyn oraz suma tez jest wieksza od zera... Czyli t1 * t2 >0 t1 + t2 >0

Jack: A wracajac do wcześniejszego Masz równanie 4tego stopnia i chcesz miec 3 pierwiastki rozne. Wstawiasz jakies t = x² i masz rownanie kwadratowe... Rownanie kwadratowe dla Δ>0 saje Ci 2 rozne pierwiastki − nie wiesz jakich znakow. Najlepiej wytlumaczyc na przykladzie wiec −to dajmy ze ci z rownania kwadratowego wyszlo t = 2 albo t = −3 Skoro twoje podstawienie bylo t= x² no to masz 2 = x² <−−−− stad 2 odpowiedzi Albo −3 = x² ktore jest sprzeczne Wiec widzisz ze teraz jak by zamiast −3 wyszlo Ci zero To masz.akurat 3 rozwiazania bo x² = 0 czyli x=0. Dlatego jedno rozwiazanie musi byc zerem a drugie liczba dodatnia