musze policzyć te zadania na jutro a nie potrafię zdesperowany: Pomoże mi ktoś obliczyć te zadania na jutro Proszę 1. zbadaj wklęsłość i wypukłość funkcji : f = x(2−lnx) 2. oblicz ekstrema : f(x)= (x² − 3)e^x f(x) = x − ln(1− x²) 3.oblicz asymptoty ukośne: f(x) = x+xarctgx 4. oblicz pochodną z definicji : f(x) = 1/x²

AS: Zad.1 Dana jest funkcja f(x). Jeżeli f"(x) > 0 dla x ∊ (a,b) to f(x) wypukła na tym przedziale. Jeżeli f"(x) < 0 dla x ∊ (a,b) to f(x) wklęsła na tym przedziale. Zał. x > 0 (z uwagi na lnx)

	1
f(x) = 2*x − x*lnx , f'(x) = 2 − lnx − x*		= 2 − lnx − 1 = 1 − lnx
	x

	−1
f"(x) =
	x

W przedziale (−∞,0> funkcja nie jest określona Dla każdego x ∊ (0,∞) f"(x) < 0 Wniosek: funkcja f(x) w (0,∞) jest wklęsła.

AS: Zad.2 a) f(x) = (x² − 3)*e^x f'(x) = 2*x*e^x + (x² − 3)*e^x = e^x*(x² + 2^x − 3) f'(x) = e^x*(x + 3)(x − 1) f'(x) = 0 dla x = −3 lub x = 1 x −∞ −3 1 ∞ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− f'(x) + 0 − 0 + ↗ ↘ ↗ Funkcja osiąga maksimum dla x = −3 równe 6*e⁻³ Funkcja osiąga minimun dla x = 1 równe −2*e Zad 2 b) f(x) = x − ln(1 − x²) Dziedzina: 1 − x² > 0 ⇒ x ∊ (−1,1)

	1		1 − x2 + 2*x		x2 − 2*x − 1
f'(x) = 1 −		*(−2x) =		=
	1 − x2		1 − x2		x2 − 1

f'(x) = 0 gdy x² − 2*x − 1 = 0 czyli dla x1 = 1 − √2 lub x2 = 1 + √2 x2 nie spełnia warunku założenia pozostaje x1 = 1 − √2 Dla x < x1 f'(x) < 0 funkcja maleje Dla x > x1 f'(x) > 0 funkcja rosnąca Wniosek: Funkcja osiąga minimun dla x1 = 1 − √2

AS: Zad 3. Pod każdym lim proszę dopisać x→∞ a w drugim przypadku x→−∞ Równanie asymptoty ukośnej

	f(x)
y = a*x + b gdzie a = lim		, b = lim(f(x) − a*x)
	x

Przypadek 1.

	f(x)		π
a = lim		= lim1 + arctg(x) = 1 +
	x		2

	π
gdyż arctg(x) →		gdy x→∞
	2

	π		π
b = lim(x + x*arctg(x) − (1 +		)*x = lim(x*arctg(x) −		*x) =
	2		2

	π
b = limx*(arctg(x) −		) = 0
	2

	π
Stąd równanie asymptoty y = (1 +		)*x
	2

Przypadek 2.

	f(x)		π
a = lim		= lim1 + arctg(x) = 1 −
	x		2

	−π
gdyż arctg(x) →		gdy x→−∞
	2

	π		π
b = lim(x + x*arctg(x) − (1 −		)*x = lim(x*arctg(x) +		*x) =
	2		2

	π
b = limx*(arctg(x) +		) = 0
	2

	π
Stąd równanie asymptoty y = (1 −		)*x
	2

AS: Zad 4

	f(x + h) − f(x)
Z definkcji f'(x) = lim
	h

h→0 Pod każdym lim proszę dopisać h→0

	1   1   − (x+h)2   x2		x2 − (x + h)2
f'(x) = lim		= lim
	h		h*x2*(x + h)2

	x2 − x2 − 2*x*h −h2		−2*x*h − h2
f'(x) = lim		= lim
	h*x2*(x + h)2		h*x2*(x + h)2

	−2*x − h
f'(x) = lim
	x2*(x + h)2

	−2*x − 0		−2
Gdy h→0 ułamek dąży do		=
	x2*(x + 0)2		x3