zadanie Metis: Ma ktoś pomysł jak "załatwić" takie zadanie ? http://i.imgur.com/Rv60S9n.png Próbowałem kombinować z pozycyjnym systemem dziesiątkowym, ale nie wiem jak je rozwiązać.

Jack: Jakbym zrozumial o co chodzi z tym 11...1 22...25 to moze bym pomogl

Milka15: O to chodzi, że na poczatku jest "n" jedynek następnie"n+1" dwójek i jedna piątka, czyli razem "2n+2" cyfr

Janek191: Np. 1225 = 35² 112225 = 335² 11122225 = 3335² itd.

Metis: Ale jak to zauważyć Janku ? Jak przeprowadzić formalny dowód?

Milka15: Liczbę tą możemy zapisać w systemie dziesiętnym w postaci: 10²ⁿ⁺²+10²ⁿ⁺¹+...+10ⁿ⁺²+2(10ⁿ⁺¹+10ⁿ+...+10¹)+5 I powstały nam tutaj dwa ciągi geometryczne, zatem możemy zastosować do nich wzór na sumę ciagu geometrycznego

	1−10n		1−10n+1
10n+2*		+2*101*		+5=
	1−10		1−10

	10n+2−102n+2+2*10−2*10n+2−45
=		=
	−9

	−10n+2+102n+2−2*10+2*10n+2+45		10n+2+102n+2+25
=		=		=
	9		9

w liczniku sprowadzamy do wzoru skróconego mnozenia na kwadrat sumy

102{n+1}+10*10n+1+25		(10n+1+5)2		10n+1+5
	=		= (		)2
9		9		3

Teraz wystarczy uzasadnić, że liczba w nawiasie − licznik − jest podzielna przez trzy

Metis: O , dzięki wielkie, przeanalizuje sobie to. A wykazać przez indukcje?

Milka15: Nie koniecznie. Trzeba się odwołać do podzielności liczby przez 3 i zauważyć z jakich cyfr skąłda się liczba w liczniku ułamka