Przygotowanie do matury #2 The City: Uzasadnij, że jeśli jeden bok prostokąta ma długość równą 1, a drugi− równą n, gdzie n jest liczbą naturalną, to długość przekątnej tego prostokąta jest liczbą niewymierną . Zadanie pojawiło się już kiedyś na forum, ale nie została udzielona odpowiedź. Obliczyłem z pitagorasa przeciwprostokątną = √1 + n² i nie wiem jak uzasadnić, że jest to liczba niewymierna.

kochanus_niepospolitus: przecież to już w przypadku kwadratu o boku 1 jest nieprawdą, ponieważ przekątna będzie miała długość √2

The City: Z tym, że tutaj mamy prostokąt o bokach 1 i n... Chyba, że Cie nie zrozumiałem i Twoja odpowiedź tłumaczy dlaczego jest to niewymierna...

kochanus_niepospolitus: ale 'n' to DOWOLNA liczba naturalna więc także n=1

The City: Teraz rozumiem Pytanie zatem tylko, czy to jest wystarczający dowód? W szkole powtarzano wielokrotnie żeby nie robić dowodów " na przykładach".

kochanus_niepospolitus: ach ... ja przeczytałem, że 'jest liczbą wymierną' i dałem kontrprzykład

Kacper: Trzeba uzasadnić, że liczba √n²+1 jest niewymierna. Liczba n²+1 spełnia nierówność n<n²+1<(n+1)², zatem znajduje się pomiędzy kwadratami dwóch kolejnych liczb naturalnych, zatem nie może być kwadratem liczby naturalnej. c.n.u

Bogdan: Czy dwie kolejne liczby naturalne mogą być kwadratami liczb naturalnych?, np.: 4 i 5, 9 i 10 itd., jeśli nie to dlaczego

The City: Kacper dla pewności tylko zapytam − miało być n²<..., nie n<...? Bogdan kwadratami kolejnych liczb naturalnych, np. 2, 3 będzie 4, 9 stad widzę, że nie mogą być, ale nie wiem jak to "matematycznie" uzasadnić..

kochanus_niepospolitus: Kacper i Bogdan ... ale to tylko dowodzi, że 1+n² ∉ N, a nie że √1+n² ∉ W

Bogdan: Proponuję założyć, że liczba √n² + 1 = jest liczbą wymierną, czyli że można ją zapisać

	p
w postaci: √1 + n2 =		, gdzie p, q∊ N+, teraz trzeba zbadać, czy ta równość
	q

zachodzi, czy nie.

The City: Co nieco zrozumiałem , dziękuje

zombi:

	p
W tym co Bogdan zaczął myślę, że warto dodać "NWD(p,q)=1" lub "ułamek		jest
	q

nieskracalny". Chyba trzeba będzie to wykorzystać w dowodzie.

Kacper: Ja pokazałem, że nie jest naturalna, a nie niewymiernna. Trzeba trochę poprawić