Wzór Maclaurina Gwiazdka:

	x
Oszacuj dokładność wzoru przybliżonego 3√1+x≈1+		dla |x|<0.1
	3

Ślicznie proszę o pokazanie jak się rozwiązuje tego typu zadanie ze wzoru Maclaurina, ale jeżeli nie masz czasu to proszę podaj mi chociaż poprawny wynik.

PW: f(0) = ³√1+0 = ³√1 = 1

	1		1
f'(x) = (1+x)1/3)' =		(1+x)−2/3, a więc f'(0) =
	3		3

Na tym rozwijanie skończyli, a więc

	x		x2
(1) f(x) = f(0) + f'(0)		+ f''(c)		,
	1!		2!

gdzie c jest pewną liczbą z przedziału (0, x) (ostatni składnik to reszta w postaci Lagrange'a, ograniczymy się do x > 0, co jak zobaczymy nie zmieni sensu obliczeń). Równość (1) oznacza to co w treści zadania:

	x		x2
f(x) = 1 +		+ f''(c)		.
	3		2!

Oszacowanie dokładności przybliżenia za pomocą dwóch początkowych składników polega na oszacowaniu trzeciego, czyli reszty.

	1		−2		2		2
Ponieważ f''(x) =		·		(1+x)−5/3 = −		(1+x)−5/9 = −		,
	3		3		9		99√(1+x)5

widać że

	x2		2	x2		x2
f''(c)		= −			= −		,
	2!		99√(1+c)5	2!		99√(1+c)5

zatem

	x2		x2		(0,1)2
|f''(c)		| =		<		<
	2!		99√(1+c)5		99√(1+c)5

	(0,1)2		1
<		=		.
	99√(1+0)5		900

	1
Błąd przybliżenia nie przekracza
	900

Dla ilustracji weźmy "komputerowe" przybliżenie ³√1+0,05 ≈ 1,016396 ≈ 1,0164, i nasze

	x		0,05
1 +		= 1 +		≈ 1,0166; przybliżenia te różnią się o 0,002., a więc chyba nie
	3		3

rąbnąłem się w oszacowaniu błędu, nawet wyszło, że nasze jest przybliżeniem z nadmiarem (reszta była ujemna) , ale Ty to sprawdź.

Gwiazdka: Dziękuję! Teraz to rozumiem

PW: Ale powiem teraz, że dla x < 0 oszacowanie nie jest takie oczywiste − takie proste zastąpienie pierwiastka z (1 + c) liczbą 1 nie przejdzie (c jest ujemna), pomyśl; ja muszę już kończyć.

PW: W nocy człowiek staje się mało bystry − zamieniłem (1 + x)^−5/3 na (1 + x)^−5/9 jak gdyby nigdy nic. Nie zmieniło to wprawdzie oszacowania, ale jest to ewidentny babol. A jak oszacować ten ułamek z pierwiastkiem dla c ujemnych już nie myślałem, pewnie trzeba mianownik oszacować przez 9³√0,9)⁵ = 9·0,9³√0,9² itd.