Zastosowania pochodnej funkcji Liceum/Technikum Paulina: Wyznacz, że równanie x⁵+10x−3=0 ma dokładnie jedno rozwiązanie.

ICSP: Udowodnij, że jest rosnaca oraz z twierdzenia Darobuz pokaż, że posiada rozwiazanie.

Paulina: Twierdzenie Darboux'a jest w podstawie programowej?

ICSP: Jeszcze kilka lat temu było. Musisz sprawdzić.

Metis: Jest.

PW: To prosty intuicyjnie fakt, że funkcja ciągła określona na przedziale <a, b> przyjmuje wszystkie wartości między f(a) i f(b) − wykres daje się narysować bez odrywania ołówka, więc jeśli f(a) i f(b) są różnych znaków, to ołówek gdzieś musi przekroczyć oś OX). Mogło to nie być nazwane twierdzeniem Darboux, ale powinno być napomknięte.

Paulina: Zrozumiałam twierdzenie z Darboux'a, ale mam problem z formułowaniem odpowiedzi. Wyszło mi coś takiego. funkcja nie posiada ekstremum f`(x)>0<=>5x<sup>4</sup>+10>0 5(x<sup>4</sup>+2)>0 f`(x)>0 dla x∊R, ponieważ każda liczba podniesiona do potęgi czwartej daje liczbę dodatnią.

ICSP: f'(x) = 5x⁴ + 10 > 0 dla dowolnego x ∊ D, wiec funkcja jest ściśle rosnaca w całej swojej dziedzine. Funkcja rosnaca posiada maksymalnie 1 miejce zerowe. f(0) * f(1) < 0 ⇒ na przedziale (0 , 1) funkcja posiada pierwiastek. Jak zostalo wyżej uzasadnione jest to jej jedyny pierwiastek.