Zastosowanie pochodnej funkcji Liceum/Technikum Paulina: Wykaż, że równanie −2x³+3x²+6=0 ma w przedziale (2;3) dokładnie jedno rozwiązanie.

Jerzy: pokaż,że w podanym przedziale f(x) jest malejąca ioraz,że f(2) i f(3) mają różne znaki

piotr1973: należy pokazać, że funkcja jest w danym przedziale monotoniczna, tzn. rosnąca albo malejąca na całym przedziale i ma różne znaki na końcach przedziału.

Paulina: Czy wykonuję to poprawnie? f(x)=−2x³+3x²+6=0 f'(x)=−6x²+6x=0 x₁=1 x₂=0 f(2)=2 f(3)=−27

Jerzy: jeszcze pokaż,że pochodna jest ujemna w przedziale (2,3) , czyli funkcja maleje

PW: f(3) = −21, co nie zmienia sensu − wartość jest ujemna. Ale nic nie napisałaś − jaki wniosek z faktu, że pochodna ma takie właśnie dwa miejsca zerowe? To musi być napisane słowami.

Paulina: Równanie ma −2x³+3x²+6=0 dokładnie jedno rozwiązanie w przedziale (2:3), ponieważ w tym przedziale jest malejąca i ma różne znaki na końcach przedziału. Czy to stwierdzenie jest prawidłowe i wystarczające do wykonania zadania?

PW: Ale dlaczego w tym przedziale jest malejąca?

olekturbo: Paulina pokaż na pochodnej, że jest malejąca

Paulina: f'(2)=−12 f'(3)=−36

olekturbo: f(x) = −2x³+3x²+6 f'(x) = −6x²+6x f'(x) > 0 ⇔ −6(x²−x) > 0 (x²−x) < 0 x(x−1) < 0 x ∊ (0,1) − funkcja rosnąca x ∊(−∞,0) u (1,∞) − funkcja malejąca

olekturbo: przepraszam bez "u", w przedziałach monotoniczności należy stosowac ","

Paulina: Moglibyście jeszcze napisać odpowiedź tak, aby nauczycielka nie mogła się przyczepić?

olekturbo: Funkcja przyjmuje wartość 2 dla argumentu 2 oraz wartość −27 dla argumentu 3, a ponieważ zostało udowodnione, że jest malejąca w przedziale (2,3) musi mieć miejsce zerowe w tym przedziale.

PW: Po prostu narysować parabolę f'(x) = − 6x(x−1), własności funkcji kwadratowej znamy i nic nie trzeba tłumaczyć, pod rysunkiem podpisać: − Dla x∊(2, 3) pochodna f'(x) jest ujemna, a więc f(x) jest na tym przedziale malejąca. Oczywiście f jest malejąca na szerszym przedziale, ale z uwagi na postawione pytanie interesuje nas zachowanie f tylko na przedziale (2, 3), i o tym piszemy. Koniecznie w podsumowaniu trzeba napisać, że f jest ciągła (jak każdy wielomian). Sama monotoniczność nie wystarczy − przecież funkcja może być malejąca, ale nie mieć miejsca zerowego (każdy jest w stanie taki wykres narysować)