param pies: wyznacz wartości parametru m dla których suma odwrotności kwadratów dwóch różnych pierwiastków rownania x²+2mx−x−1=0....... jest rowna 3

yht: x₁, x₂ − dwa różne pierwiastki x²+2mx−x−1=0 x²+(2m−1)x−1=0 a = 1, b=2m−1, c=−1 ze wzorów Viete'a:

	−b		−2m+1
x1+x2 =		=		= −2m+1 = 1−2m
	a		1

	c		−1
x1*x2 =		=		= −1
	a		1

Suma odwrotności kwadratów równa 3:

	1		1
(		)2 + (		)2 = 3
	x1		x2

1		1
	+		= 3
x12		x22

x22		x12
	+		= 3
x12*x22		x12*x22

x12+x22
	=3
x12*x22

x12+x22+2x1*x2−2x1*x2
	=3
(x1*x2)2

x12+2x1*x2+x22−2x1*x2
	=3
(x1*x2)2

(x1+x2)2−2x1*x2
	=3
(x1*x2)2

(1−2m)2−2*(−1)
	=3
(−1)2

1−4m+4m2+2
	=3
1

1−4m+4m²+2=3 4m²−4m+1+2−3=0 4m²−4m=0 4m(m−1)=0 4m = 0 lub m−1 = 0 m=0 lub m = 1 sprawdzam czy dla m=0 istnieją dwa różne pierwiastki równania x²+2mx−x−1=0 x²+2*0*x−x−1=0 x²+0−x−1=0 x²−x−1=0 Δ=(−1)²−4*1*(−1)=1+4>0 → dla m=0 istnieją dwa różne pierwiastki równania x²+2mx−x−1=0 sprawdzam czy dla m=1 istnieją dwa różne pierwiastki równania x²+2mx−x−1=0 x²+2*1x−x−1=0 x²+2x−x−1=0 x²+x−1=0 Δ=1²−4*1*(−1)=1+4>0 → dla m=1 istnieją dwa różne pierwiastki równania x²+2mx−x−1=0 Odp. m=0 lub m=1

pies: dziekuje

Eta: x²+(m−1)x−1=0 parametr m musi spełniać układ warunków: 1/ Δ>0

	1		1
2/		+		=3
	x12		x22

Δ= 4m²−4m+5 ⇒ Δ>0 ⇔ m ∊R , bo Δ₁<0

	1		1		x12+x22		(x1+x2)2−2x1*x2
2/		+		=		=		=
	x12		x22		(x1*x2)2		(x1x2)2

b2

a

b2−2ac

b2−4ac+2ac

Δ

a

=

−2

=

=

=

+2

c2

c

c2

c2

c2

c

zatem warunek 2/ jest : 4m²−4m+5−2=3 ⇒ 4m²−4m=0 ⇒ m(m−1)=0 ⇒ m=0 v m=1

pies: dziekuje eto:(