LOGARYTMY asia: 5^logx + x^log5 = 50

Janek191: x = 100

asia: mOŻNA poprosić o rozwiązanie?

Janek191: Podałem wyżej

Janek191: 5^{log 100} + 100^{log 5} = 5² + 10^{2 log 5} = 25 + 10^{log 25} = 25 + 25 = 50

asia: a skąd wiesz, że x=100?

Janek191: x zostało odgadnięte

Jerzy: zlogarytmuj obustronnie log o podstawie 10

Janek191: ? log ( a + b ) = ?

PW: asiu, problem polega na znalezieniu związku między liczbami 5^logx i x^log5. W tym celu obliczmy ich logarytmy: log(5^logx) = (logx)·(log5) (korzystamy z twierdzenia o logarytmie potęgi). log(x^log5) = (log5)(logx). Jak widać oba składniki badanego równania mają jednakowe logarytmy, a więc są liczbami równymi (logarytm jest funkcją różnowartościową). Wobec tego równanie można zapisać w postaci 2·5^logx = 50 5^logx = 25 5^logx = 5², a więc z różnowartościowości funkcji wykładniczej logx = 2, czyli 10² = x x = 100. Rozwiązanie wymaga na początku ustalenia dziedziny.

Janek191:

Tadeusz: zauważ, że x^log5=x^{log_x5/log_x10}=5^logx masz więc: 5^logx+5^logx=50 5^logx=25 ⇒ logx=2 x=