monotoniczność Kriss: Pomożecie nauczyć się na koło ? wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji : 1. y=2x − x² 2. y= x / (1+ X²) 3. Y=x√(2−x²) 4. y= e^bx 5. y= cosx − x 6. y= x² − ln(2−x²) 7. y= x|x|

Basia: spróbuj może trochę sam; zacznij od (1) − określ dziedzinę − policz pochodną podaj wynik

Kriss: kompletnie nie mam pojęcia jak to zrobić.

Basia: na pamięć się tego nie nauczysz; każda funkcja jest inna; musisz się nauczyć przede wszystkim określać dziedzinę o liczyć pochodne; co Ci da rozwiązanie tych zadań ? na kolokwium będą inne, i co wtedy ?

Kriss: będą dokładnie te

Basia: No to pała dla prowadzącego ćwiczenia. A co Ty w ogóle z tego umiesz ?

Basia: f(x) = 2x−x² D=R f'(x) = 2−2x f'(x)<0 ⇔ 2−2x<0 ⇔ 2x>2 ⇔ x>1 f'(x)>0 ⇔ 2−2x>0 ⇔ 2x<2 ⇔ x<1 x∊(−∞;1) ⇒ f'(x)>0 ⇒ f(x) rośnie x∊(1;+∞) ⇒ f'(x)<0 ⇒ f(x) maleje

Basia:

	x
f(x)=
	1+x2

D=R

	1*(1+x2)−2x*x
f'(x) =
	(1+x2)2

	1+x2−2x2		1−x2
f'(x) =		=
	(1+x2)2		(1+x2)2

(1+x²)² >0 dla każdego x∊R czyli znak pochodnej zależy tylko od licznika 1−x²=(1−x)(1+x) >0 ⇔ x∊(−1;1) 1−x²=(1−x)(1+x)<0 ⇔ x∊(−∞;−1)∪(1;+∞) x∊(−∞;−1) ⇒ f'(x)<0 ⇒ f(x) maleje x∊(−1;1) ⇒ f'(x)>0 ⇒ f(x) rośnie x∊(1;+∞) ⇒ f'(x)<0 ⇒ f(x) maleje

Basia: f(x) = x√2−x² 2−x²≥0 (√2−x)(√2+x)≥0 x∊<−√2;√2>

	1
f'(x) = 1*√2−x2 +		*(−2x)*x =
	2√2−x2

	x2
√2−x2−		=
	√2−x2

2−x2−x2
	=
√2−x2

2−2x2
	=
√2−x2

2(1−x2)
√2−x2

√2−x²>0 czyli znak pochodnej zależy tylko od wyrażenia 1−x² 1−x²=(1−x)(1+x) >0 ⇔ x∊(−1;1) 1−x²=(1−x)(1+x)<0 ⇔ x∊(−∞;−1)∪(1;+∞) ponieważ dziedziną funkcji jest przedział x∊<−√2;√2> a dziedziną pochodnej przedział x∊(−√2;√2) x∊(−√2;−1) ⇒ f'(x)<0 ⇒ f(x) maleje x∊(−1;1) ⇒ f'(x)>0 ⇒ f(x) rośnie x∊(1;√2) ⇒ f'(x)<0 ⇒ f(x) maleje

Basia: f(x) = e^bx D=R f'(x) = b*e^bx e^bx>0 dla każdego x∊R znak pochodnej zależy od b dla b<0 f'(x) jest stale ujemna i f(x) jest stale malejąca dla b=0 f(x) = e⁰ = 1 jest funkcją stałą dla b>0 f'(x) jest stale dodatnia i f(x) jest stale rosnąca

Basia: f(x) = cosx − x D = R f'(x) = −sinx−1 −sinx−1>0 ⇔ sinx+1<0 ⇔ sinx<−1 niemożlowe −sinx−1<0 ⇔ sinx+1>0 ⇔ sinx > −1 ⇔ sinx≠−1 sinx=−1 ⇔ x=^3π₂+2kπ finkcja f(x) jest rosnąca w każdym przedziale postaci: ( 2(k−1)π+^3π₂ ; 2kπ+^3π₂ ) (w każdym oddzielnie; w całej dziedzinie nie jest rosnąca)

Basia: f(x) = x²−ln(2−x²) 2−x²>0 (√2−x)(√2+x)>0 [N[x∊(−√2 ; √2)

	1		2x
f'(x) = 2x −		*(−2x) = 2x+		=
	2−x2		2−x2

2x(2−x2)+2x
	=
2−x2

−2x3+4x
	=
2−x2

2x(−x2+2)
	=
2−x2

2x(2−x2)
	= 2x
2−x2

f'(x) <0 ⇔ 2x<0 ⇔ x<0 f'(x)>0 ⇔ 2x>0 ⇔ x>0 x∊(−√2;0) ⇒ f'(x)<0 ⇒ f(x) maleje x∊(0;√2) ⇒ f'(x)>0 ⇒ f(x) rośnie

Basia: f(x) = x*|x| D=R dla x<0 f(x) = x*(−x) = −x² dla x≥0 f(x) = x*x=x² dla x<0 f'(x)=−2x>0 dla x≥0 f'(x)=2x>0 dla x>0 funkcja jest stale rosnąca; w punkcie x₀=0 ma tylko punkt przegięcia